Séries numériques
35
Comme � ( f + 1) > 1, la suite de terme général lunl est strictement croissante
à partir du rang N. Puisqu'elle est à termes positifs, elle ne tend pas vers O.
Cela signifie que la série L n lunl diverge grossièrement et par conséquent que
la série L n Un diverge aussi grossièrement.
� Le cas où la suite (vn)n de terme général Vn = lun+i/unl tend vers +oo se
traite avec des arguments analogues, voir l'exercice 1.12.
0
Exercice 1.12 Soit (un)n une suite numérique dont les termes sont tous
non nuls à partir d'un certain rang. On suppose que la suite de terme général
lun + I/unl tend vers +oo. Montrer que la série L n Un diverge grossièrement.
Exemples
1. Pour tout z E C* fixé, la série numérique L n Un de terme général Un = z n /n!
converge absolument car
' Un +l ' = _M_
Un
n+ 1
tend vers 0 quand n tend vers +oo. (Pour z = 0, on a la série nulle.)
2. Considérons la série L n Un de terme général Un = n/an où a désigne un réel
non nul fixé. Pour tout n E N*, on a
1 Un +l 1- 1 n + 1
� -�- n- d'où
l . 1 Un +l , _ 1
im
-- -
n -++oo Un
a
Le théorème de D'Alembert indique que la série L n Un converge absolument
si lai > 1 et diverge si lai < 1. On peut ajouter que dans le cas où lai = 1 elle
diverge grossièrement.
Si la suite de terme général lun +i /unl converge vers 1 ou si cette suite n'a
pas de limite, on ne peut pas conclure à la convergence ou à la divergence de
la série L n Un· Par exemple, pour les séries de Riemann L n� l n-0 (a E IR)
on a
' Un + l ' = (n + 1) - a = ( l + .!.) - a
Un
n-0
n
et pour tout a E IR, cette quantité tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
Or, on sait que si a > 1 alors la série converge et que si a ::::; 1 alors elle
diverge.
Exercice 1.13 En utilisant la règle de D'Alembert, déterminer la nature
de la série L n Un de terme général :
n!
1-Un=­ nn
(n!)2
2-Un=-­ n2
2n
3 -u = -
n 2 n
Remarque On peut démontrer qu'étant donné une suite numérique (un)n, si
la suite de terme général lun +i /unl tend vers f E JR +
U { +oo} alors la suite de