Séries numériques
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suivante du reste d'ordre n de la série :
+oo
+oo
L r k - n / uni = r - n / uni L r k = /uni 1 : r ,
k= n +l
k= n +l
(9)
la dernière relation étant obtenue en remarquant que la somme correspond au
reste d'ordre n d'une série géométrique de raison r.
Exemple Considérons la série de terme général Un = n!/n n dont la convergence a été établie à l'exercice 1.13. On a f = limn-. +oo 1u�;1 1 = 0 pour cette
série. Pour tout p E N*, on a 1 uz;1 1 = ( vn r E]O, l[. On peut donc prendre
r = (Ph r. Comme la suite de terme général Vn = ( n� l )
n est décroissante,
on a pour tout k E N avec k � p :
u k +1 = __ � _P_ =r
1 1 (
k ) k (
) p
Uk
k + 1
p+ 1
.
La relation (9) fournit alors pour cet exemple la majoration suivante du reste
d'ordre p pour tout p EN:
I R 1 1 1
r
p!
P � U p 1 - r = (p + l)P - pP
En utilisant MAPLE, on établit que pour que U N soit une valeur approchée de
la somme de la série avec une erreur inférieure à 10 - 6, il faut choisir N � 16.
On trouve alors pour valeur approchée de la somme de la série : 2.879853.
> u := n->n ! /n-n :
> R := n->n!/((n+1) -n-n-n) :
> fsolve (R(p) =1E-6,p=10) ;
> evalf (suni(u (n) ,n=O .. 16)) ;
15 . 62180712
2.879853171
1.3.3 Produit de Cauchy de deux séries
Nous avons vu que l'ensemble E(IK) des séries numériques à valeurs dans lK muni
des lois + (somme de deux séries) et · (produit d'une série par un scalaire) avait
une structure d'espace vectoriel.
On peut également définir une loi produit x sur E(OC) de sorte que E(OC) muni
des lois + et x ait une structure d'anneau commutatil 43 > .
<43> vo ir la définition 2.36 p. 64 du Cours de première année.