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Limite et continuité des fonctions de IR" dans JtP
2. Considérons l'application f : (xi , x 2 , x 3) E IR� � J
; 1x 2 ; 3 2 en (0, 0, 0).
X i + Xz + X 3
Ses applications partielles à l'origine coïncidant avec l'application nulle, si f a
une limite en (0, 0, 0) ce ne peut être que O. Pour tout x = (xi , x 2 , x 3) E IR�,
(44)
on a
D'après la proposition 7.4 p. 362, on a ll x lli :::: :; V3 ll x ll2· On en déduit que
l f(xi , X 2 , x 3) I :::: :; '/,f ll x ll � · Le théorème d'encadrement permet de conclure que f
admet pour limite 0 en (0, 0, 0).
3. Déterminons la limite de l'application f : (xi , x 2 ) E IR� � x1x 2 ln(xÎ + x�)
en (0, 0). Ses applications partielles à l'origine coïncidant avec l'application
nulle, si f a une limite en (0, 0) ce ne peut être que O. Pour tout (x1,x 2 ) E JR; ,
on a 2 l xix 2 I :::: :; xî + x� d'où
l f(xi ,x 2 ) I = l xix 2 ln(xî +x�) I :::: :; (xÎ +x�) h1(Jxî +x�)
= ll (xi ,x 2 ) ll � ln( ll (xi ,x 2 ) ll 2 ).
Comme limt_,0+ t 2 ln(t) = 0, on en conclut que f admet pour limite 0 en (0, 0).
Exercice 9.3 Déterminer, si elles existent, les limites des fonctions suivantes en (0, 0) :
2
X1
1 - (xi , X 2 ) E lR � V 2
2
X i +x 2
3 (
) 11]) 2 sin(xr + x�)
- X1, X 2 E JA. � 1 1 1 1
Xi + X 2
2
Xi X�
5-(x1 ,x 2 ) EIR � 4 3
X i +x 2
Représentation graphique
La visualisation de la représentation graphique d'une fonction de !R n dans IR
n'est pas aisée et n'est guère envisageable que lorsque n = 2. Le logiciel MAPLE
dispose de plusieurs commandes permettant de représenter graphiquement des
fonctions de deux variables réelles soit sous la forme de lignes de niveau, soit
sous la forme de surfaces. L'étude de telles courbes et surfaces sera présentée au
chapitre 11 ; nous nous contenterons dans cette partie de présenter les différents
outils de visualisation des fonctions de JR 2 dans lR disponibles avec MAPLE.
< 44 > On utilise ici l'inégalité 6abc �( a + b + c)3 qui est vraie pour tous réels positifs a, b, c;
on peut le vérifier en développant le membre de droite de l'inégalité.