Limite et continuité
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n'a pas de limite en O. Considérons l'arc paramétré cp : t E lR t-t t u avec
u = (1, >., >.) où >. désigne un réel fixé ; on a (0, 0, 0) = cp(O) et
'ïlt E lR
,>. 2
f(cp(t))) = v'l + 2). 2
Comme la limite de f o cp en 0 dépend de >., l'application f n'a pas de limite
en (0, 0, 0).
Comment établir qu'une fonction de !R n dans lR a une limite ?
Considérons une application f définie sur un ensemble D de !R n et à valeurs
dans lR ; munissons !R n d'une quelconque de ses normes Il · Il et lR de la distance
usuelle.
D'après la définition 9.1, l'application f admet pour limite en a ED le réel f, si
Cette assertion indique que pour montrer que f admet l pour limite en a, il
faut et il suffit de montrer que l'application g : x E D t-t lf(x) -li E JR+ admet
pour limite 0 en a. Il résulte par ailleurs du théorème 9.1 que si h est une
fonction à valeurs réelles qui admet 0 pour limite en a et telle qu'au voisinage
de a on ait 0 ::;;; g(x) ::;;; h(x) alors g admet pour limite 0 en a.
D'un point de vue pratique, pour établir qu'une fonction f de !R n dans lR a une
limite en a on peut procéder ainsi.
1. On cherche la valeur l de la limite de f en a en considérant un arc paramétré cp ayant a dans son image (i.e. 3to E lR a = cp(to)) et on calcule la limite
. de la restriction de f à la courbe paramétrée associée à cp, c'est-à-dire, on
calcule la limite de f o cp en to.
2. On majore au voisinage de a la fonction g : x E !R n t-t lf(x) - li E lR par
une fonction h dont on sait que la limite en a est O.
Exemples
1. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E IR; t-t t1r
x1
�
2 )
1
. Ses applications
X 1 + X2
partielles en (0, 0) correspondent à l'application nulle. On en déduit que si f a
une limite en (0, 0), cette limite est nécessairement O. En utilisant les inégalités
l sin(t)I ::;;; ltl pour tout t E lR et lx1x 2I ::;;; (lx1 I + lx2 1) 2 , on obtient que pour
tout (x1 , x 2 ) E JR 2
P uisque lim(x 1 ,x 2 ) .... (0,0) ll(x1 , x 2 )ll1 = 0, on en déduit que f admet pour limite 0
en (0, 0).
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n'a pas de limite en O. Considérons l'arc paramétré cp : t E lR t-t t u avec
u = (1, >., >.) où >. désigne un réel fixé ; on a (0, 0, 0) = cp(O) et
'ïlt E lR
,>. 2
f(cp(t))) = v'l + 2). 2
Comme la limite de f o cp en 0 dépend de >., l'application f n'a pas de limite
en (0, 0, 0).
Comment établir qu'une fonction de !R n dans lR a une limite ?
Considérons une application f définie sur un ensemble D de !R n et à valeurs
dans lR ; munissons !R n d'une quelconque de ses normes Il · Il et lR de la distance
usuelle.
D'après la définition 9.1, l'application f admet pour limite en a ED le réel f, si
Cette assertion indique que pour montrer que f admet l pour limite en a, il
faut et il suffit de montrer que l'application g : x E D t-t lf(x) -li E JR+ admet
pour limite 0 en a. Il résulte par ailleurs du théorème 9.1 que si h est une
fonction à valeurs réelles qui admet 0 pour limite en a et telle qu'au voisinage
de a on ait 0 ::;;; g(x) ::;;; h(x) alors g admet pour limite 0 en a.
D'un point de vue pratique, pour établir qu'une fonction f de !R n dans lR a une
limite en a on peut procéder ainsi.
1. On cherche la valeur l de la limite de f en a en considérant un arc paramétré cp ayant a dans son image (i.e. 3to E lR a = cp(to)) et on calcule la limite
. de la restriction de f à la courbe paramétrée associée à cp, c'est-à-dire, on
calcule la limite de f o cp en to.
2. On majore au voisinage de a la fonction g : x E !R n t-t lf(x) - li E lR par
une fonction h dont on sait que la limite en a est O.
Exemples
1. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E IR; t-t t1r
x1
�
2 )
1
. Ses applications
X 1 + X2
partielles en (0, 0) correspondent à l'application nulle. On en déduit que si f a
une limite en (0, 0), cette limite est nécessairement O. En utilisant les inégalités
l sin(t)I ::;;; ltl pour tout t E lR et lx1x 2I ::;;; (lx1 I + lx2 1) 2 , on obtient que pour
tout (x1 , x 2 ) E JR 2
P uisque lim(x 1 ,x 2 ) .... (0,0) ll(x1 , x 2 )ll1 = 0, on en déduit que f admet pour limite 0
en (0, 0).