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Limite et continuité des fonctions de !Rn dans !R.P
On dispose ainsi d'un moyen supplémentaire pour montrer qu'une fonction f
de JR n dans lR n'a pas de limite en a.
1. On peut chercher un arc paramétré rp ayant a dans son image (i.e
3ta E lR a= rp(ta)) tel que la fonction f o rp n'ait pas de limite en ta.
2. On peut chercher deux arcs paramétrés distincts rp et 'I/; ayant a dans leur
image (i.e 3(sa , ta) E JR 2 rp(ta) = 'l/;(sa) =a) tels que la limite de la fonction
f o rp en ta et la limite de la fonction f o 'I/; en sa soient distinctes.
Exemples
1. L'application f : (x1 , x 2 ) E JR; � � 1x 2 2 n'a pas de limite en (0, 0). ConsiX 1 +x 2
dérons l'arc paramétré rp : t E lR � (t, t) E JR 2 dont l'image est la première
bissectrice ; on a (0, 0) = rp(ta) avec ta = 0 et pour tout t E JR, on a f(rp(t)) = �·
On en déduit que l'application f o rp admet pour limite � lorsque t tend vers
ta = 0 alors que l'on a vu que les applications partielles ont pour limite O.
2
2. L'application f : (x1 , x 2 ) E JR� � : 1x 2 3 n'a pas de limite en (0, 0). ConsiX 1 +X 2
dérons l'arc paramétré rp : t E lR � (t 3 , t 4 ) E JR 2 ; on a (0, 0) = rp(O) et pour
tout t E JR* , on a f(rp(t)) = l/t. Comme f o rp n'a pas de limite en 0, f n'a pas
non plus de limite en (0, 0).
D'un point de vue pratique, il est commode de considérer simultanément toutes
les droites de JR n concourantes en a dont les paramétrisations sont
rp : t E lR � a + t u où u désigne le vecteur dont toutes les composantes
sont égales à un réel >. fixé à l'exception de l'une d'entre elle qui vaut 1. On a
rp( 0) = a et si la limite lorsque t tend vers 0 de f ( rp( t)) dépend de >. alors f
n'a pas de limite en a.
Exemples
1. Intéressons-nous à l'existence d'une limite en (0, 0) à l'application
Considérons l'arc paramétré rp : t E lR � t u avec u = ( 1, >.) où >. désigne un
réel fixé. On a (0, 0) = rp(O) et
\ft E lR ! ( (t))) = ( 1 + l>-l ) l t l = 1 + l>- 1
.
rp
J(l + ). 2 )t 2 v'l + ). 2
Comme la limite en 0 de f(rp(t))) dépend de la valeur de >., l'application f n'a
pas de limite en (0, 0) .
2. L'application
Limite et continuité des fonctions de !Rn dans !R.P
On dispose ainsi d'un moyen supplémentaire pour montrer qu'une fonction f
de JR n dans lR n'a pas de limite en a.
1. On peut chercher un arc paramétré rp ayant a dans son image (i.e
3ta E lR a= rp(ta)) tel que la fonction f o rp n'ait pas de limite en ta.
2. On peut chercher deux arcs paramétrés distincts rp et 'I/; ayant a dans leur
image (i.e 3(sa , ta) E JR 2 rp(ta) = 'l/;(sa) =a) tels que la limite de la fonction
f o rp en ta et la limite de la fonction f o 'I/; en sa soient distinctes.
Exemples
1. L'application f : (x1 , x 2 ) E JR; � � 1x 2 2 n'a pas de limite en (0, 0). ConsiX 1 +x 2
dérons l'arc paramétré rp : t E lR � (t, t) E JR 2 dont l'image est la première
bissectrice ; on a (0, 0) = rp(ta) avec ta = 0 et pour tout t E JR, on a f(rp(t)) = �·
On en déduit que l'application f o rp admet pour limite � lorsque t tend vers
ta = 0 alors que l'on a vu que les applications partielles ont pour limite O.
2
2. L'application f : (x1 , x 2 ) E JR� � : 1x 2 3 n'a pas de limite en (0, 0). ConsiX 1 +X 2
dérons l'arc paramétré rp : t E lR � (t 3 , t 4 ) E JR 2 ; on a (0, 0) = rp(O) et pour
tout t E JR* , on a f(rp(t)) = l/t. Comme f o rp n'a pas de limite en 0, f n'a pas
non plus de limite en (0, 0).
D'un point de vue pratique, il est commode de considérer simultanément toutes
les droites de JR n concourantes en a dont les paramétrisations sont
rp : t E lR � a + t u où u désigne le vecteur dont toutes les composantes
sont égales à un réel >. fixé à l'exception de l'une d'entre elle qui vaut 1. On a
rp( 0) = a et si la limite lorsque t tend vers 0 de f ( rp( t)) dépend de >. alors f
n'a pas de limite en a.
Exemples
1. Intéressons-nous à l'existence d'une limite en (0, 0) à l'application
Considérons l'arc paramétré rp : t E lR � t u avec u = ( 1, >.) où >. désigne un
réel fixé. On a (0, 0) = rp(O) et
\ft E lR ! ( (t))) = ( 1 + l>-l ) l t l = 1 + l>- 1
.
rp
J(l + ). 2 )t 2 v'l + ). 2
Comme la limite en 0 de f(rp(t))) dépend de la valeur de >., l'application f n'a
pas de limite en (0, 0) .
2. L'application