Limite et continuité
567
admettent toutes pour limite le réel f, lorsque t tend vers ai . Ainsi, pour montrer
qu'une fonction f de J.R n dans IR n'a pas de limite en a= (ai , . . . , an), il suffit :
- de montrer qu'une des fonctions partielles f; n'a pas de limite en ai ;
- ou bien que deux fonctions partielles f i et fj n'ont pas le même réel pour
limite en ai et a1 respectivement.
Exemples
. .
2
ch(x1 ) sh(x2)
1. L'apphcat 10n f : (x1 , x2 ) E IR *
t--t
n'a pas de limite en (0, 0)
X1 +x2
car les applications partielles en (0, 0) qui sont :
f
ID *
f
ID *
sh(x2)
1 : X1 E � 1--- -+ 0 et 2 : X2 E � 1--- -+ --X2
ont pour limites 0 et 1 respectivement en x1 = 0 et x2 = O.
2. L'application f: (x1 ,x2) E IR� t--t
cos(x
�
) sil �(x2) n'a pas de limite en (0, 0)
.
X1 + X2
car la deuxième application partielle h : x2 E IR * t--t sin(x2 )/x� n'a pas de
limite en x2 = O.
1 Même si toutes les fonctions partielles ont la même limite, on ne peut rien
conclure quant à l'existence d'une limite pour f.
On a toutefois l'information suivante : si f admet une limite en a, sa valeur
est la valeur de la limite des fonctions partielles. Par exemple, l'application
f : (xi , x2) E IR; t--t :
1 x2 2 admet pour applications partielles en (0, 0)
X1 +x 2
fi : X1 E IR * 1--- -+ f(xi' 0) = 0 et h : X2 E IR * 1--- -+ f (0, x2) = 0
qui ont une limite nulle en xi = 0 et x2 = 0 respectivement. On ne peut pas
dire si f a une limite ou non en (0, 0), mais on peut affirmer que si f a une
limite en (0, 0) cette limite est obligatoirement O.
Nous venons de voir que des informations sur l'existence d'une limite pour une
fonction f de J.R n dans IR pouvaient être obtenues en considéra.nt les applications
partielles. S'intéresser à la limite des applications partielles revient à considérer
le limite de la fonction f en restriction à des droites parallèles aux axes de
coordonnées ou, en d'autres termes, à considérer la limite de la quantité f (x)
lorsque x tend vers a selon des droites passant par a et parallèles aux axes de
coordonnées.
Plus généralement, si f admet pour limite le réel f, en a et si C désigne une
courbe paramétrée < 42> de J.R n de classe c i contenant a, alors la restriction à
la courbe paramétrée c de la fonction f admet aussi pour limite le réel e
en a. Autrement dit, si cp E c i (I, J.R n ) est une paramétrisation de C telle que
a = cp( ta), ta E I alors la limite lorsque t tend vers ta de f ( cp( t)) est égale <4 3> à C.
( 42> L'étude détaillée des courbes paramétrées dans Rn sera effectuée au chap. 11, mais aucune
connaissance précise en ce qui concerne les courbes paramétrées n'est requise à ce niveau.
(-1 3) Voir la proposition 9.4 p. 542.
567
admettent toutes pour limite le réel f, lorsque t tend vers ai . Ainsi, pour montrer
qu'une fonction f de J.R n dans IR n'a pas de limite en a= (ai , . . . , an), il suffit :
- de montrer qu'une des fonctions partielles f; n'a pas de limite en ai ;
- ou bien que deux fonctions partielles f i et fj n'ont pas le même réel pour
limite en ai et a1 respectivement.
Exemples
. .
2
ch(x1 ) sh(x2)
1. L'apphcat 10n f : (x1 , x2 ) E IR *
t--t
n'a pas de limite en (0, 0)
X1 +x2
car les applications partielles en (0, 0) qui sont :
f
ID *
f
ID *
sh(x2)
1 : X1 E � 1--- -+ 0 et 2 : X2 E � 1--- -+ --X2
ont pour limites 0 et 1 respectivement en x1 = 0 et x2 = O.
2. L'application f: (x1 ,x2) E IR� t--t
cos(x
�
) sil �(x2) n'a pas de limite en (0, 0)
.
X1 + X2
car la deuxième application partielle h : x2 E IR * t--t sin(x2 )/x� n'a pas de
limite en x2 = O.
1 Même si toutes les fonctions partielles ont la même limite, on ne peut rien
conclure quant à l'existence d'une limite pour f.
On a toutefois l'information suivante : si f admet une limite en a, sa valeur
est la valeur de la limite des fonctions partielles. Par exemple, l'application
f : (xi , x2) E IR; t--t :
1 x2 2 admet pour applications partielles en (0, 0)
X1 +x 2
fi : X1 E IR * 1--- -+ f(xi' 0) = 0 et h : X2 E IR * 1--- -+ f (0, x2) = 0
qui ont une limite nulle en xi = 0 et x2 = 0 respectivement. On ne peut pas
dire si f a une limite ou non en (0, 0), mais on peut affirmer que si f a une
limite en (0, 0) cette limite est obligatoirement O.
Nous venons de voir que des informations sur l'existence d'une limite pour une
fonction f de J.R n dans IR pouvaient être obtenues en considéra.nt les applications
partielles. S'intéresser à la limite des applications partielles revient à considérer
le limite de la fonction f en restriction à des droites parallèles aux axes de
coordonnées ou, en d'autres termes, à considérer la limite de la quantité f (x)
lorsque x tend vers a selon des droites passant par a et parallèles aux axes de
coordonnées.
Plus généralement, si f admet pour limite le réel f, en a et si C désigne une
courbe paramétrée < 42> de J.R n de classe c i contenant a, alors la restriction à
la courbe paramétrée c de la fonction f admet aussi pour limite le réel e
en a. Autrement dit, si cp E c i (I, J.R n ) est une paramétrisation de C telle que
a = cp( ta), ta E I alors la limite lorsque t tend vers ta de f ( cp( t)) est égale <4 3> à C.
( 42> L'étude détaillée des courbes paramétrées dans Rn sera effectuée au chap. 11, mais aucune
connaissance précise en ce qui concerne les courbes paramétrées n'est requise à ce niveau.
(-1 3) Voir la proposition 9.4 p. 542.