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Limite et continuité des fonctions de JR" dans JRP
On en déduit que pour tout E E !Rf- , on a l f(x1 , x 2 ) - OI � E pour tout
(x1 ,x 2 ) E IR; tel que ll (x1 ,x 2 ) - (O,O) ll2 � E. D'après la définition 9.1, cela
indique que f admet pour limite 0 en (0, 0).
2. Pour montrer que l'application f : (x1 ,x 2 ) E IR;
1-+ f xi
l
+ � 2 ) � admet pour
X1 + X 2
limite 0 en (0, 0), il est préférable de considérer la distance subordonnée à la
norme 1. Pour tout (x1 , x 2 ) E IR; on a :
On en déduit que pour tout E E !Rf-, on a l f(xi , x 2 ) - OI � E pour tout
(x1 , x 2 ) E IR; tel que 1i (x1 , x 2 ) - (0, 0) 111 � E. D'après la définition 9.1, cela
indique que f admet pour limite 0 en (0, 0).
Dans le cas des applications définies sur un ouvert de !R n à valeurs dans IR, on
a les résultats suivants qui généralisent les propriétés liées à la continuité des
applications réelles de la variable réelle < 4 1 > .
PROPOSITION 9.21 Soient >. un réel, U un ouvert de !R n et f et g deux
applications de U dans IR. Si f et g sont continues en a E U (resp . sur U)
alors : :
1. l f l est continue en a (resp. sur U) ;
2. f + g est continue en a {resp. sur U) ;
3. f x g est continue en a (resp. sur U) ;
4. >. · f est continue en a (resp. sur U) ;
5. si de plus g( a) =/= 0 (resp. g ne s'annule pas sur U) alors f / g est continue
en a {resp. sur U ).
Rappelons qu'un tel résultat ne peut être énoncé pour des applications d'un
espace métrique E dans un espace métrique F de façon générale, faute de
disposer des lois de composition interne + et x sur F.
Un moyen pratique d'établir qu'une fonction de !R n dans IR n'a pas de limite
La méthode présentée p. 181 pour montrer qu'une fonction complexe de la
variable complexe n'avait pas de limite se généralise, comme nous allons le
voir, aux fonctions de !R n dans IR.
Il résulte de la proposition 9.14 qu'une condition nécessaire pour qu'une application définie sur un ouvert U de !Rn et à valeurs réelles admette en a E U
pour limite le réel f est que les fonctions partielles
< 4 1 > Voir la proposition 13. 18 p. 593 du Cours de première année.
Limite et continuité des fonctions de JR" dans JRP
On en déduit que pour tout E E !Rf- , on a l f(x1 , x 2 ) - OI � E pour tout
(x1 ,x 2 ) E IR; tel que ll (x1 ,x 2 ) - (O,O) ll2 � E. D'après la définition 9.1, cela
indique que f admet pour limite 0 en (0, 0).
2. Pour montrer que l'application f : (x1 ,x 2 ) E IR;
1-+ f xi
l
+ � 2 ) � admet pour
X1 + X 2
limite 0 en (0, 0), il est préférable de considérer la distance subordonnée à la
norme 1. Pour tout (x1 , x 2 ) E IR; on a :
On en déduit que pour tout E E !Rf-, on a l f(xi , x 2 ) - OI � E pour tout
(x1 , x 2 ) E IR; tel que 1i (x1 , x 2 ) - (0, 0) 111 � E. D'après la définition 9.1, cela
indique que f admet pour limite 0 en (0, 0).
Dans le cas des applications définies sur un ouvert de !R n à valeurs dans IR, on
a les résultats suivants qui généralisent les propriétés liées à la continuité des
applications réelles de la variable réelle < 4 1 > .
PROPOSITION 9.21 Soient >. un réel, U un ouvert de !R n et f et g deux
applications de U dans IR. Si f et g sont continues en a E U (resp . sur U)
alors : :
1. l f l est continue en a (resp. sur U) ;
2. f + g est continue en a {resp. sur U) ;
3. f x g est continue en a (resp. sur U) ;
4. >. · f est continue en a (resp. sur U) ;
5. si de plus g( a) =/= 0 (resp. g ne s'annule pas sur U) alors f / g est continue
en a {resp. sur U ).
Rappelons qu'un tel résultat ne peut être énoncé pour des applications d'un
espace métrique E dans un espace métrique F de façon générale, faute de
disposer des lois de composition interne + et x sur F.
Un moyen pratique d'établir qu'une fonction de !R n dans IR n'a pas de limite
La méthode présentée p. 181 pour montrer qu'une fonction complexe de la
variable complexe n'avait pas de limite se généralise, comme nous allons le
voir, aux fonctions de !R n dans IR.
Il résulte de la proposition 9.14 qu'une condition nécessaire pour qu'une application définie sur un ouvert U de !Rn et à valeurs réelles admette en a E U
pour limite le réel f est que les fonctions partielles
< 4 1 > Voir la proposition 13. 18 p. 593 du Cours de première année.