Limite et continuité
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2. L'application f : (xi, x 2 ) E R 2 � y'xf + x� qui donne la distance euclidienne du point de coordonnées (x1 , x 2 ) à l'origine est continue sur R 2 qui
est un ensemble fermé mais non borné. L'application f n'est pas bornée.
3. L'application f: (x1 ,x 2 ) E B(O, 1) � y'xf + x� où B(O, 1) désigne la boule
ouverte {(x1 ,x 2 ) E R 2 ; xi + x� < l}, est continue sur B(O, 1) qui est un
ensemble borné mais non fermé. Cette application est bornée, mais n'atteint
pas sa borne supérieure 1 (elle atteint toutefois sa borne inférieure qui est 0).
On sera par ailleurs attentif au fait que le théorème 9.2 fournit une condition
suffisante pour qu'une application atteigne ses bornes. Cette condition n'est
pas nécessaire : par exemple l'application f : (x1 , x 2 ) E X � Jxi + x� où
X = B(O, 1) U { (l, O)} est bornée et atteint ses bornes bien que X ne soit pas
fermé.
o
9.2 Limite et continuité des fonctions de Rn dans RP
Considérons une application f définie sur un ouvert U de R n (n E N*) à valeurs
dans RP (p E N*) :
f: x = (x1 , ... ,xn)
U c R n - RP
f--- -->
(f1(x), ... , fp (x))
où pour tout i E N avec 1 ::::; i ::::; p, fi désigne la i-ième application composante de f.
XII résulte de la proposition 9.15 que f est continue en a EU (resp. admet une
limite en a) si et seulement si pour tout entier i avec 1 ::::; i ::::; p l'application fi
est continue en a E U (resp. admet une limite en a) . En conséquence, l'étude
de la continuité (resp. le calcul d'une limite) pour une fonction de Rn dans RP
consiste à étudier la continuité (resp. à calculer la limite) de p fonctions de Rn
dans R
X Comme Rn est un R-espace vectoriel de dimension finie, pour l'étude de
la continuité de f (resp. l'étude de l'existence d'une limite pour f), on peut
prendre dans la définition 9.5 (resp. la définition 9.1) pour distance de n'importe quelle distance subordonnée à une norme ; elles sont toutes équivalentes.
D'un point de vue pratique, on choisit celle pour laquelle les calculs sont les
plus aisés.
Exemples
1. Pour montrer que l'application f : (x1 , x 2 ) E R: � xix 2 admet pour
Jxi + X�
limite 0 en (0, 0), le raisonnement est facilité par le choix de la distance euclidienne. Compte tenu de l'inégalité l x1x 2 I ::::; 2 l x1 l l x 2 I ::::; xi + x� = ll (xi, x 2 ) ll �,
on a pour tout (x1 ,x 2 ) ER: ,
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2. L'application f : (xi, x 2 ) E R 2 � y'xf + x� qui donne la distance euclidienne du point de coordonnées (x1 , x 2 ) à l'origine est continue sur R 2 qui
est un ensemble fermé mais non borné. L'application f n'est pas bornée.
3. L'application f: (x1 ,x 2 ) E B(O, 1) � y'xf + x� où B(O, 1) désigne la boule
ouverte {(x1 ,x 2 ) E R 2 ; xi + x� < l}, est continue sur B(O, 1) qui est un
ensemble borné mais non fermé. Cette application est bornée, mais n'atteint
pas sa borne supérieure 1 (elle atteint toutefois sa borne inférieure qui est 0).
On sera par ailleurs attentif au fait que le théorème 9.2 fournit une condition
suffisante pour qu'une application atteigne ses bornes. Cette condition n'est
pas nécessaire : par exemple l'application f : (x1 , x 2 ) E X � Jxi + x� où
X = B(O, 1) U { (l, O)} est bornée et atteint ses bornes bien que X ne soit pas
fermé.
o
9.2 Limite et continuité des fonctions de Rn dans RP
Considérons une application f définie sur un ouvert U de R n (n E N*) à valeurs
dans RP (p E N*) :
f: x = (x1 , ... ,xn)
U c R n - RP
f--- -->
(f1(x), ... , fp (x))
où pour tout i E N avec 1 ::::; i ::::; p, fi désigne la i-ième application composante de f.
XII résulte de la proposition 9.15 que f est continue en a EU (resp. admet une
limite en a) si et seulement si pour tout entier i avec 1 ::::; i ::::; p l'application fi
est continue en a E U (resp. admet une limite en a) . En conséquence, l'étude
de la continuité (resp. le calcul d'une limite) pour une fonction de Rn dans RP
consiste à étudier la continuité (resp. à calculer la limite) de p fonctions de Rn
dans R
X Comme Rn est un R-espace vectoriel de dimension finie, pour l'étude de
la continuité de f (resp. l'étude de l'existence d'une limite pour f), on peut
prendre dans la définition 9.5 (resp. la définition 9.1) pour distance de n'importe quelle distance subordonnée à une norme ; elles sont toutes équivalentes.
D'un point de vue pratique, on choisit celle pour laquelle les calculs sont les
plus aisés.
Exemples
1. Pour montrer que l'application f : (x1 , x 2 ) E R: � xix 2 admet pour
Jxi + X�
limite 0 en (0, 0), le raisonnement est facilité par le choix de la distance euclidienne. Compte tenu de l'inégalité l x1x 2 I ::::; 2 l x1 l l x 2 I ::::; xi + x� = ll (xi, x 2 ) ll �,
on a pour tout (x1 ,x 2 ) ER: ,