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Limite et continuité dans un espace métrique
Le théorème suivant concerne les fonctions continues de !R n dans lR et généralise
un résultat connu pour les fonctions réelles de la variable réelle <3 8 > . L'espace
vectoriel !R n est muni de l'une quelconque de ses normes, notée Il · Il et lR est
muni de la distance usuelle.
THÉORÈME 9.2 Soient X un ensemble non vide, fe rmé et borné dans
(!R n , I l · Il ), et f une application continue de X dans R L'application f est
bornée sur X et atteint ses bornes, i.e. :
il existe (a, b) E X2 tel que f(a) = inf f(x) et f(b) = sup f(x) .
·
x E X
x E X
Démonstration L'ensemble X qui est un ensemble fermé et borné de !R n est
un ensemble compact, voir le théorème 7.7 p. 415. Comme f est une application
continue de X dans IR, d'après la proposition 9.18, l'ensemble f(X) est un
compact de IR. C'est donc <3 9 > un ensemble non vide et borné de lR; il admet
par conséquent < 4 0 > une borne supérieure lvl et une borne inférieure m dans lR
qui vérifient :
et
(Vy E f (X) y :s; M ) et
(Vy ' E f(X) y � m ) et
(Vé E IR� 3y" E f(X) y" > M - é)
(Vé E IR� 3y� E f(X) y� < m + é) .
En considérant des réels é = l/n avec n E N*, on en déduit d'une part qu'il
existe une suite (Yn)n d'éléments de f(X) tel que pour tout n E N* on ait
M - l/n < Yn :s; M et d'autre part qu'il existe une suite (y�)n d'éléments
de f(X) tel que pour tout n E N* on ait m :s; y� < m + l/n. Le théorème
d'encadrement indique que la suite (Yn)n d'éléments de f(X) converge vers M
et que la suite (y�)n d'éléments de f(X) converge vers m. Comme f(X) est
compact, c'est un ensemble fermé <3 9 > ce qui implique que ]\If E f(X) et que
m E f(X) (voir le théorème 7.6 p. 410) , autrement dit qu'il existe (a, b) E X 2
tel que f(a) = inf x E X f(x) et f(b) = sup x EX f(x) .
D
Remarque On sera attentif aux hypothèses du théorème 9.2. Les exemples
suivants précisent l'importance de chacune des hypothèses.
1. Soit X = {(xi, x 2 ) E IR 2 ; 0 < xi + x� :s; 1} ; considérons l'application
f : ( X1, x 2 ) E X � (xi+ x� )-� qui donne l'inverse de la distance euclidienne
du point de coordonnées (x1 , x 2 ) à l'origine. Cette application est continue
sur l'ensemble X qui est borné mais pas fermé. Elle n'est pas bornée sur
X puisque pour tout M E JR + le point ( 111 � 1 , 0) a pour image par f le réel
J(M + 1) 2 qui est strictement supérieur à M.
<38l Voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.
<3 9 > vo ir la proposition 7.20 p. 414.
< 4o ) Voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.
Limite et continuité dans un espace métrique
Le théorème suivant concerne les fonctions continues de !R n dans lR et généralise
un résultat connu pour les fonctions réelles de la variable réelle <3 8 > . L'espace
vectoriel !R n est muni de l'une quelconque de ses normes, notée Il · Il et lR est
muni de la distance usuelle.
THÉORÈME 9.2 Soient X un ensemble non vide, fe rmé et borné dans
(!R n , I l · Il ), et f une application continue de X dans R L'application f est
bornée sur X et atteint ses bornes, i.e. :
il existe (a, b) E X2 tel que f(a) = inf f(x) et f(b) = sup f(x) .
·
x E X
x E X
Démonstration L'ensemble X qui est un ensemble fermé et borné de !R n est
un ensemble compact, voir le théorème 7.7 p. 415. Comme f est une application
continue de X dans IR, d'après la proposition 9.18, l'ensemble f(X) est un
compact de IR. C'est donc <3 9 > un ensemble non vide et borné de lR; il admet
par conséquent < 4 0 > une borne supérieure lvl et une borne inférieure m dans lR
qui vérifient :
et
(Vy E f (X) y :s; M ) et
(Vy ' E f(X) y � m ) et
(Vé E IR� 3y" E f(X) y" > M - é)
(Vé E IR� 3y� E f(X) y� < m + é) .
En considérant des réels é = l/n avec n E N*, on en déduit d'une part qu'il
existe une suite (Yn)n d'éléments de f(X) tel que pour tout n E N* on ait
M - l/n < Yn :s; M et d'autre part qu'il existe une suite (y�)n d'éléments
de f(X) tel que pour tout n E N* on ait m :s; y� < m + l/n. Le théorème
d'encadrement indique que la suite (Yn)n d'éléments de f(X) converge vers M
et que la suite (y�)n d'éléments de f(X) converge vers m. Comme f(X) est
compact, c'est un ensemble fermé <3 9 > ce qui implique que ]\If E f(X) et que
m E f(X) (voir le théorème 7.6 p. 410) , autrement dit qu'il existe (a, b) E X 2
tel que f(a) = inf x E X f(x) et f(b) = sup x EX f(x) .
D
Remarque On sera attentif aux hypothèses du théorème 9.2. Les exemples
suivants précisent l'importance de chacune des hypothèses.
1. Soit X = {(xi, x 2 ) E IR 2 ; 0 < xi + x� :s; 1} ; considérons l'application
f : ( X1, x 2 ) E X � (xi+ x� )-� qui donne l'inverse de la distance euclidienne
du point de coordonnées (x1 , x 2 ) à l'origine. Cette application est continue
sur l'ensemble X qui est borné mais pas fermé. Elle n'est pas bornée sur
X puisque pour tout M E JR + le point ( 111 � 1 , 0) a pour image par f le réel
J(M + 1) 2 qui est strictement supérieur à M.
<38l Voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.
<3 9 > vo ir la proposition 7.20 p. 414.
< 4o ) Voir la proposition 3.2 p. 95 du Cours de première année.