Limite et continuité
563
La notion de densité est d'un point de vue pratique très intéressante en analyse.
Elle permet lorsque l'on souhaite montrer certaines propriétés pour les éléments
d'un ensemble B de ne faire la vérification que pour les éléments d'un sousensemble A de B. On conclut alors en invoquant des résultats généraux de
densité tel que celui donné dans la proposition suivante.
PROPOSITION 9.19 Soient (E, de) et (F, d F) deux espaces métriques, f et g
deux applications continues de E dans F et A un sous-ensemble dense dans E.
Si pour tout x E A on a f(x) = g(x) alors pour tout x E E on a f(x) = g(x).
Démonstration Montrons que l'ensemble B = {x E E ; f(x) = g(x)} est
égal à l'ensemble E. Par hypothèse, on a A c B donc A c B. Par ailleurs,
puisque f et g sont continues, l'ensemble B est fermé, voir p. 562. On a donc
B = B. On en déduit que Ac B c E. Mais comme A est dense dans Eon a
A = E, ce qui implique que B = E.
D
Exercice 9.2 Soient (E, d) un espace métrique et f, g deux applications
de E dans lR. On munit � de la distance usuelle.
1 - Soient A = {x E E ; f(x) > g(x)} , a un élément de A et a: le réel
�(f(a) + g(a)). On note U = 1- 1 00:, +oo [) et V = g- 1 0 - oo, a: [) .
a) Montrer que Un V est un sous-ensemble de A et que Un V est ouvert.
b) En déduire que A est un ouvert de (E, d).
2 - Soit Dun sous-ensemble de E, dense dans E. Iviontrer que si f(x) :::; ; g(x)
pour tout x ED alors f(x) ::;; g(x) pour tout x E E.
PROPOSITION 9.20 Soient (E, de) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application continue de E dans F. Si A est un sous-ensemble de E qui
est dense dans E alors f(A) est dense dans f(E).
Démonstration Pour établir que f(A) est dense dans f(E), montrons que <3 6 >
pour tout y E f (E) , il existe une suite (Yn)n d'éléments de f (A) qui converge
vers y. Soit y un élément de f(E) : il existe x E E tel que y = f(x). Comme A
est dense dans E, x est la limite d'une suite (xn)n d'éléments de A. Puisque f
t
.
E 11
.
'
<3 7 > l · d
es contmue sur , e e est contmue en x et par consequent a suite e terme
général f(xn) converge vers f(x) (autrement dit vers y). Par ailleurs, comme
pour tout n E N on a Xn E A, on en déduit que la suite de terme général
Yn = f (xn) est une suite d'éléments de f (A) qui converge vers y.
D
(3 6 ) Voir le corollaire 7.2 p. 411.
<3 7 > Voir la proposition 9.8, p. 549.
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La notion de densité est d'un point de vue pratique très intéressante en analyse.
Elle permet lorsque l'on souhaite montrer certaines propriétés pour les éléments
d'un ensemble B de ne faire la vérification que pour les éléments d'un sousensemble A de B. On conclut alors en invoquant des résultats généraux de
densité tel que celui donné dans la proposition suivante.
PROPOSITION 9.19 Soient (E, de) et (F, d F) deux espaces métriques, f et g
deux applications continues de E dans F et A un sous-ensemble dense dans E.
Si pour tout x E A on a f(x) = g(x) alors pour tout x E E on a f(x) = g(x).
Démonstration Montrons que l'ensemble B = {x E E ; f(x) = g(x)} est
égal à l'ensemble E. Par hypothèse, on a A c B donc A c B. Par ailleurs,
puisque f et g sont continues, l'ensemble B est fermé, voir p. 562. On a donc
B = B. On en déduit que Ac B c E. Mais comme A est dense dans Eon a
A = E, ce qui implique que B = E.
D
Exercice 9.2 Soient (E, d) un espace métrique et f, g deux applications
de E dans lR. On munit � de la distance usuelle.
1 - Soient A = {x E E ; f(x) > g(x)} , a un élément de A et a: le réel
�(f(a) + g(a)). On note U = 1- 1 00:, +oo [) et V = g- 1 0 - oo, a: [) .
a) Montrer que Un V est un sous-ensemble de A et que Un V est ouvert.
b) En déduire que A est un ouvert de (E, d).
2 - Soit Dun sous-ensemble de E, dense dans E. Iviontrer que si f(x) :::; ; g(x)
pour tout x ED alors f(x) ::;; g(x) pour tout x E E.
PROPOSITION 9.20 Soient (E, de) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application continue de E dans F. Si A est un sous-ensemble de E qui
est dense dans E alors f(A) est dense dans f(E).
Démonstration Pour établir que f(A) est dense dans f(E), montrons que <3 6 >
pour tout y E f (E) , il existe une suite (Yn)n d'éléments de f (A) qui converge
vers y. Soit y un élément de f(E) : il existe x E E tel que y = f(x). Comme A
est dense dans E, x est la limite d'une suite (xn)n d'éléments de A. Puisque f
t
.
E 11
.
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<3 7 > l · d
es contmue sur , e e est contmue en x et par consequent a suite e terme
général f(xn) converge vers f(x) (autrement dit vers y). Par ailleurs, comme
pour tout n E N on a Xn E A, on en déduit que la suite de terme général
Yn = f (xn) est une suite d'éléments de f (A) qui converge vers y.
D
(3 6 ) Voir le corollaire 7.2 p. 411.
<3 7 > Voir la proposition 9.8, p. 549.