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Limite et continuité dans un espace métrique
3. Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques, et f et g deux applications
continues de E dans F. Montrons que l'ensemble {x E E ; f(x) = g(x)} est
fermé dans E. Munissons F 2 de l'une des distances produits données p. 556 ;
d'après la proposition 9.15, l'application il> : x E E f-+ (f(x), g(x)) E F 2 est
continue de E. Considérons les ensembles B = { (Y1 , Y 2 ) E F 2 ; Yi = Y 2 } et
qi- 1 (B) image réciproque par il> de B. On a
qi - 1 (B) = {x E E; 3y E B y= iI>(x)}
{x E E; 3(y1 , Y 2 ) E F 2 Yi = Y 2 et (yi ,y 2 ) = (f(x), g(x)) }
{x E E; f(x) = g(x)} .
On a établi p. 410 que B est un fermé de F 2 , donc d'après la proposition 9.17,
l'ensemble qi - 1 (B) est un fermé. L'ensemble {x E E ; f(x) = g(x)} est donc
fermé dans E.
L'image d'un ouvert par une application continue n'est pas nécessairement un ouvert. De même l'image d'un fermé par une application
continue n'est pas nécessairement un fermé. Par exemple, la fonction
f : x E � f-+ x ( L i ) est continue sur l'ouvert JO, 1 [ mais /(JO, 1[) = [4, +oo(
n'est pas ouvert (c'est un intervalle fermé) ; elle est également continue sur
le fermé [2, +oo[ mais f ([2, +oo[) =JO, �J n'est pas un fermé.
Le résultat suivant indique toutefois que l'image par une application continue
(33)
d'un ensemble compact est un ensemble compact.
PROPOSITION 9.18 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application de E dans F qui est continue. Si K est un sous-ensemble
compact de E alors f(K) est un sous-ensemble compact de F.
Démonstration Pour montrer que f(K) = {y E F ; 3x E K y = f(x)}
est compact, montrons que <3 4 > de toute suite (Yn)n d'éléments de f(K), on
peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de f (K). Soit (Yn)n
une suite d'éléments de f(K) ; pour tout n E N, il existe Xn E K tel que
Yn = f (xn) · Comme K est compact, on peut extraire de la suite (xn)n une
sous-suite (xh( n ) )n (h étant l'application de N dans N strictement croissante
désignant l'extractrice) qui converge vers un élément x E K. Comme f est une
application continue sur E, elle est continue en x et par conséquent <3 5 > la suite
de terme général y� = f (xh( n )) converge vers y = f (x). La suite (y�)n est
par construction une suite extraite de la suite (Yn)n et elle converge vers un
élément y E f(K) puisque x E K. On peut donc extraire de la suite (Yn)n une
sous-suite qui converge vers un élément de f(K). Le résultat est démontré. D
<33> voir la définition 7.23 p. 413.
<34> voir la d éfinition 7.23 p. 413.
<3 5 > Voir la proposition 9.8 p. 549.
Limite et continuité dans un espace métrique
3. Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques, et f et g deux applications
continues de E dans F. Montrons que l'ensemble {x E E ; f(x) = g(x)} est
fermé dans E. Munissons F 2 de l'une des distances produits données p. 556 ;
d'après la proposition 9.15, l'application il> : x E E f-+ (f(x), g(x)) E F 2 est
continue de E. Considérons les ensembles B = { (Y1 , Y 2 ) E F 2 ; Yi = Y 2 } et
qi- 1 (B) image réciproque par il> de B. On a
qi - 1 (B) = {x E E; 3y E B y= iI>(x)}
{x E E; 3(y1 , Y 2 ) E F 2 Yi = Y 2 et (yi ,y 2 ) = (f(x), g(x)) }
{x E E; f(x) = g(x)} .
On a établi p. 410 que B est un fermé de F 2 , donc d'après la proposition 9.17,
l'ensemble qi - 1 (B) est un fermé. L'ensemble {x E E ; f(x) = g(x)} est donc
fermé dans E.
L'image d'un ouvert par une application continue n'est pas nécessairement un ouvert. De même l'image d'un fermé par une application
continue n'est pas nécessairement un fermé. Par exemple, la fonction
f : x E � f-+ x ( L i ) est continue sur l'ouvert JO, 1 [ mais /(JO, 1[) = [4, +oo(
n'est pas ouvert (c'est un intervalle fermé) ; elle est également continue sur
le fermé [2, +oo[ mais f ([2, +oo[) =JO, �J n'est pas un fermé.
Le résultat suivant indique toutefois que l'image par une application continue
(33)
d'un ensemble compact est un ensemble compact.
PROPOSITION 9.18 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application de E dans F qui est continue. Si K est un sous-ensemble
compact de E alors f(K) est un sous-ensemble compact de F.
Démonstration Pour montrer que f(K) = {y E F ; 3x E K y = f(x)}
est compact, montrons que <3 4 > de toute suite (Yn)n d'éléments de f(K), on
peut extraire une sous-suite qui converge vers un élément de f (K). Soit (Yn)n
une suite d'éléments de f(K) ; pour tout n E N, il existe Xn E K tel que
Yn = f (xn) · Comme K est compact, on peut extraire de la suite (xn)n une
sous-suite (xh( n ) )n (h étant l'application de N dans N strictement croissante
désignant l'extractrice) qui converge vers un élément x E K. Comme f est une
application continue sur E, elle est continue en x et par conséquent <3 5 > la suite
de terme général y� = f (xh( n )) converge vers y = f (x). La suite (y�)n est
par construction une suite extraite de la suite (Yn)n et elle converge vers un
élément y E f(K) puisque x E K. On peut donc extraire de la suite (Yn)n une
sous-suite qui converge vers un élément de f(K). Le résultat est démontré. D
<33> voir la définition 7.23 p. 413.
<34> voir la d éfinition 7.23 p. 413.
<3 5 > Voir la proposition 9.8 p. 549.