Limite et continuité
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3. On dit que deux espaces métriques sont isométriques s'il existe une isométrie
surjective de l'un sur l'autre.
4. La notion d'isométrie est étroitement liée aux distances dont sont munis E
et F. Si f est une isométrie de (E, dE) dans (F, dF) et si ÔE et ÔF sont des
distances équivalentes à dE et dF alors f n'est pas nécessairement une isométrie
de (E, 8E ) dans (F, 8F) ·
o
La notion d'isométrie sera étudiée en détail au chapitre 8 dans le cadre des
espaces euclidiens, voir p. 490.
9.1.5 Applications continues et topologie
La proposition suivante, que nous admettrons, fournit un moyen d'établir qu'un
ensemble est ouvert ou fermé.
PROPOSITION 9.17 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application de E dans F. On a les équivalences suivantes :
1. l'application f est continue sur E;
2. l'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E (i.e. quel
que soit l'ouvert X de F, l'ensemble 1- 1 (X) est ouvert dans E} ;
3. l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E (i.e. quel
que soit le fermé X de F, l'ensemble 1- 1 (X) est fermé dans E) ;
Exemples
1. Comme JR+ est un ouvert de lR et que JR + et {O} sont des fermés de IR, si f
est une application de (E, d) dans lR continue alors :
- l'ensemble {x E E; f(x) > O} est un ouvert de E;
- l'ensemble {x E E ; f(x) = O} est un fermé de E;
- l'ensemble {x E E; f(x) ?: O} est un fermé de E.
2. L'ensemble Ç.C n (IK) des matrices inversibles de M n (IK) est un ouvert de
M n (IK) car l'ensemble des matrices inversibles coïncide avec l'ensemble des
matrices de déterminant non nul <3 2 > . On a donc Ç.C n (IK) =CE où l'ensemble E
est donné par E = {A E M n (IK) ; det(A) = O}. L'application déterminant
étant continue sur M n (IK) (voir la proposition 9.12), on en déduit que l'ensemble E est fermé en tant qu'image réciproque du fermé {O} de lR par une
application continue. Puisque E est fermé, son complémentaire Ç .C n (OC) est
ouvert.
<32> Vo ir la proposition 11.2 p. 478 du Cours de première année.
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3. On dit que deux espaces métriques sont isométriques s'il existe une isométrie
surjective de l'un sur l'autre.
4. La notion d'isométrie est étroitement liée aux distances dont sont munis E
et F. Si f est une isométrie de (E, dE) dans (F, dF) et si ÔE et ÔF sont des
distances équivalentes à dE et dF alors f n'est pas nécessairement une isométrie
de (E, 8E ) dans (F, 8F) ·
o
La notion d'isométrie sera étudiée en détail au chapitre 8 dans le cadre des
espaces euclidiens, voir p. 490.
9.1.5 Applications continues et topologie
La proposition suivante, que nous admettrons, fournit un moyen d'établir qu'un
ensemble est ouvert ou fermé.
PROPOSITION 9.17 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques et f
une application de E dans F. On a les équivalences suivantes :
1. l'application f est continue sur E;
2. l'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E (i.e. quel
que soit l'ouvert X de F, l'ensemble 1- 1 (X) est ouvert dans E} ;
3. l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E (i.e. quel
que soit le fermé X de F, l'ensemble 1- 1 (X) est fermé dans E) ;
Exemples
1. Comme JR+ est un ouvert de lR et que JR + et {O} sont des fermés de IR, si f
est une application de (E, d) dans lR continue alors :
- l'ensemble {x E E; f(x) > O} est un ouvert de E;
- l'ensemble {x E E ; f(x) = O} est un fermé de E;
- l'ensemble {x E E; f(x) ?: O} est un fermé de E.
2. L'ensemble Ç.C n (IK) des matrices inversibles de M n (IK) est un ouvert de
M n (IK) car l'ensemble des matrices inversibles coïncide avec l'ensemble des
matrices de déterminant non nul <3 2 > . On a donc Ç.C n (IK) =CE où l'ensemble E
est donné par E = {A E M n (IK) ; det(A) = O}. L'application déterminant
étant continue sur M n (IK) (voir la proposition 9.12), on en déduit que l'ensemble E est fermé en tant qu'image réciproque du fermé {O} de lR par une
application continue. Puisque E est fermé, son complémentaire Ç .C n (OC) est
ouvert.
<32> Vo ir la proposition 11.2 p. 478 du Cours de première année.