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Limite et continuité dans un espace métrique
Démonstration Une application de E dans F lipschitzienne de rapport 0 est
constante et par conséquent uniformément continue sur E comme cela a été
mentionné p. 557. Il s'agit donc d'établir que si f est lipschitzienne de rapport
k E �+ alors f est uniformément continue sur E, autrement dit de montrer
l'assertion suivante < 3 1 l :
'11€ E �� 31] E �� 'V(x, y) E E 2 ( dE(X, y) � 1J ==? dp (f (x), f (y)) � ê ).
Soient e E �+ et (x, y) E E 2 ; puisque f est lipschitzienne de rapport k, on a
dp (f(x),f(y)) � kdE(x,y) et par conséquent, en prenant 1J = e/k on obtient :
dE(X, y) � 1J ==? dF (f(x), f(y)) � E.
On en conclut que pour tout e E �+, il existe 1J E �+ (11 = e/k convient)
tel que pour tout (x, y) E E 2 vérifiant dE (x, y) � 1J on a dp (f(x),f(y)) � E.
L'application f est donc uniformément continue sur E.
0
Remarque Comme toute application uniformément continue est continue,
toute application lipschitzienne est continue.
o
Exercice 9.1 . Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques et f une
application de E dans F lipschitzienne de rapport k E �+. Montrer que
si on munit E et F de deux distances OE et Op équivalentes à dE et dp
respectivement, alors f est toujours une application lipschitzienne pour ces
deux nouvelles distances sur E et F.
Un cas particulier d'applications lipschitziennes de rapport 1 est celui des isométries.
DÉFINITION 9.9 (Isométrie)
Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques. Une application f de E
dans F est qualifiée d'isométrie si :
V(x, y) E E 2 dp (f(x),f(y)) = dE(x, y).
Remarques
1. Une isométrie est toujours injective car pour tout (x, y) E E 2 si f(x) = f(y)
alors dp (f(x), f(y)) = 0 ce qui, par définition d'une isométrie, implique que
dE(x, y) = 0 autrement dit que x = y. Par contre, une isométrie n'est pas
nécessairement surjective.
2. Une isométrie de E dans F étant une application lipschitzienne de rapport 1,
elle est uniformément continue sur E.
< 3 1 > Voir la définition 9. 7 p. 556.