Limite et continuité
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2. Soit (E, d) est un espace métrique ; munissons E 2 de la distance o1 définie par
01 (x,y) = d(x1 , Y1)+ d(x 2 , Y2 ) pour tous x = (x1 ,x 2 ) et y= (y1 , Y2 ) dans E 2 et
munissons lR de la distance usuelle. L'application f : (x1 , x 2 ) E E 2 r--+ d(x1 , x 2 )
est lipschitzienne de rapport 1. En effet, en utilisant la seconde inégalité triangulaire < 29> , on obtient pour tous x = (x1 , x 2 ) E E 2 et y= (y1 , y 2 ) E E 2 ,
l f(x) - f(y) i
l d(x1 ,x 2 )-d(y1 , Y2 ) I
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , x 2 ) + d(y1 , x 2 ) - d(y1 , Y2) I
� l d(x1 ,x 2 ) - d(y1 ,x 2 ) I + l d(y1 ,x 2 )-d(y1 ,y 2 ) I
� d(x1 , yi ) + d(x 2 , Y2 ) = 01 (x, y).
3. Soient (E1 ,d1), .. .,(Ep , dp) des espaces métriques et E = E1 x . .. x Ep
l'espace produit muni de la distance o1 définie par la relation (7) p. 553. Pour
tout entier k avec 1 � k � n, considérons la k-ème fonction de projection
Pk : (x1 , ... ,xp) E E r--+ Xk E Ek . Il s'agit d'une application lipschitzienne de
rapport 1 car pour tous x = (x1 , ... , xp) E E et y= (y1 , ... , yp) dans E, on a
4. On munit M n (IK) de la distance subordonnée à la norme de Schur < so > , et on
considère une matrice U dans M n (IK). Montrons que l'application
f: A E M n (IK) r--+ A x U - U x A est Lipschitzienne. Pour tous A, B E M n (IK)
on a
li f(A) - f(B) lls = jjA X U - U X A - B X U + U X B lis
= ll (A - B) x U - U x (A - B) li s � ll (A - B) x Ul is + llU x (A - B) li s ·
Or, on a établi au cours de l'exercice 7.8 p. 366 que pour la norme de Schur,
on a ll A x B li s � ll A lls llB lls pour tous A, B E M n (IK). On en déduit que
li f(A) - f(B) lls � li (A - B) lls llU lls + llUlls ll A-B li s = 2 llUlls ll A-B li s ·
On en conclut que f est lipschitzienne de rapport k = 2 llU lls ·
La proposition suivante est très utile ; elle indique que toute application lipschitzienne est uniformément continue.
PROPOSITION 9.16 Soient (E, de) et (F, dp ) deux espaces métriques et f
une application de E dans F. Si f est lipschitzienne alors f est uniformément
continue sur E.
(29) " • 1
. .
7
3
von· a propos1t10n . 1 p. 51.
( so ) Vo ir la proposition 7 .5 p. 365 et 1 'exercice 7 .8 p. 366.
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2. Soit (E, d) est un espace métrique ; munissons E 2 de la distance o1 définie par
01 (x,y) = d(x1 , Y1)+ d(x 2 , Y2 ) pour tous x = (x1 ,x 2 ) et y= (y1 , Y2 ) dans E 2 et
munissons lR de la distance usuelle. L'application f : (x1 , x 2 ) E E 2 r--+ d(x1 , x 2 )
est lipschitzienne de rapport 1. En effet, en utilisant la seconde inégalité triangulaire < 29> , on obtient pour tous x = (x1 , x 2 ) E E 2 et y= (y1 , y 2 ) E E 2 ,
l f(x) - f(y) i
l d(x1 ,x 2 )-d(y1 , Y2 ) I
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , x 2 ) + d(y1 , x 2 ) - d(y1 , Y2) I
� l d(x1 ,x 2 ) - d(y1 ,x 2 ) I + l d(y1 ,x 2 )-d(y1 ,y 2 ) I
� d(x1 , yi ) + d(x 2 , Y2 ) = 01 (x, y).
3. Soient (E1 ,d1), .. .,(Ep , dp) des espaces métriques et E = E1 x . .. x Ep
l'espace produit muni de la distance o1 définie par la relation (7) p. 553. Pour
tout entier k avec 1 � k � n, considérons la k-ème fonction de projection
Pk : (x1 , ... ,xp) E E r--+ Xk E Ek . Il s'agit d'une application lipschitzienne de
rapport 1 car pour tous x = (x1 , ... , xp) E E et y= (y1 , ... , yp) dans E, on a
4. On munit M n (IK) de la distance subordonnée à la norme de Schur < so > , et on
considère une matrice U dans M n (IK). Montrons que l'application
f: A E M n (IK) r--+ A x U - U x A est Lipschitzienne. Pour tous A, B E M n (IK)
on a
li f(A) - f(B) lls = jjA X U - U X A - B X U + U X B lis
= ll (A - B) x U - U x (A - B) li s � ll (A - B) x Ul is + llU x (A - B) li s ·
Or, on a établi au cours de l'exercice 7.8 p. 366 que pour la norme de Schur,
on a ll A x B li s � ll A lls llB lls pour tous A, B E M n (IK). On en déduit que
li f(A) - f(B) lls � li (A - B) lls llU lls + llUlls ll A-B li s = 2 llUlls ll A-B li s ·
On en conclut que f est lipschitzienne de rapport k = 2 llU lls ·
La proposition suivante est très utile ; elle indique que toute application lipschitzienne est uniformément continue.
PROPOSITION 9.16 Soient (E, de) et (F, dp ) deux espaces métriques et f
une application de E dans F. Si f est lipschitzienne alors f est uniformément
continue sur E.
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von· a propos1t10n . 1 p. 51.
( so ) Vo ir la proposition 7 .5 p. 365 et 1 'exercice 7 .8 p. 366.