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Limite et continuité dans un espace métrique
est uniformément continue sur oc n muni de l'une quelconque de ses normes.
L'espace vectoriel oc n étant de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes ; munissons-le de la norme Il · 11 1 définie par llxll 1 = E� =l l x il pour tout
X= (x1 , ... ,x n ) E oc n . Pour tous X= (x1 , ... ,x n ) et y = (y1 , ... ,y n ) , on a
ll f( x ) - f( y ) ll E =
l l Ï:
x i . Vi - t Yi . vi l l E = 1 1t (x i - y i ) . Vi l l E
i=l
i=l
i=l
n
n
� L ll(xi - Yi) · vill E = L l x i - Yi l llvill E
i=l
i=l
n
� ( max llvi ll E) l:: l x i - Yi l =C llx - ylJ i ,
i=l, ... ,n
.
t=l
où C = max i E{ l ... ,n } llvill E· On en déduit que pour tout é E lR'f- il existe 1] E lR'f(prendre 1] = é/C) tel que pour tout ( x , y ) E oc n
X oc n , si llx - yll 1 � 1] alors
ll f( x ) - f( y ) lle � C17 = E:. L'application f est donc uniformément continue
de oc n dans E.
9.1.4 Applications lipschitziennes
Une classe de fonctions possédant la propriété d'être uniformément continues
est celle des fonctions lipschitziennes. Nous verrons ultérieurement que certaines
fonctions lipschitziennes, appelées fonctions contractantes, interviennent dans
l'étude des points fixes.
DÉFINITION 9.8 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques.
X Une application f de E dans F est lipschitzienne si
3k E JR + 'v'(x, y) E E 2 dF(f(x),f(y)) � kd e (x, y).
X Une application f de E dans F est qualifiée d'application lipschitzienne de
rapport k, où k désigne un réel positif, si
'v'(x, y) E E 2 dF (f(x), f(y)) � k d e (x, y).
X Une application f de E dans F est qualifiée d'application contractante s'il
s'agit d'une application lipschitzienne de rapport k E [O, 1[.
Exemples
1. Une application f de (E, dE) dans (F, dF) qui est constante est lipschitzienne
de rapport 0 puisque pour tout (x, y) E E 2 on a dF (f(x), f(y)) = O. Réciproquement, toute application f de (E, dE) dans (F, dF) qui est lipschitzienne de
rapport 0 est constante car si pour tout (x, y) E E 2 on a dF (f(x), f(y)) � 0
alors dF(f(x), f(y)) = 0, autrement dit f(x) = f(y).
Limite et continuité dans un espace métrique
est uniformément continue sur oc n muni de l'une quelconque de ses normes.
L'espace vectoriel oc n étant de dimension finie, toutes les normes y sont équivalentes ; munissons-le de la norme Il · 11 1 définie par llxll 1 = E� =l l x il pour tout
X= (x1 , ... ,x n ) E oc n . Pour tous X= (x1 , ... ,x n ) et y = (y1 , ... ,y n ) , on a
ll f( x ) - f( y ) ll E =
l l Ï:
x i . Vi - t Yi . vi l l E = 1 1t (x i - y i ) . Vi l l E
i=l
i=l
i=l
n
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� L ll(xi - Yi) · vill E = L l x i - Yi l llvill E
i=l
i=l
n
� ( max llvi ll E) l:: l x i - Yi l =C llx - ylJ i ,
i=l, ... ,n
.
t=l
où C = max i E{ l ... ,n } llvill E· On en déduit que pour tout é E lR'f- il existe 1] E lR'f(prendre 1] = é/C) tel que pour tout ( x , y ) E oc n
X oc n , si llx - yll 1 � 1] alors
ll f( x ) - f( y ) lle � C17 = E:. L'application f est donc uniformément continue
de oc n dans E.
9.1.4 Applications lipschitziennes
Une classe de fonctions possédant la propriété d'être uniformément continues
est celle des fonctions lipschitziennes. Nous verrons ultérieurement que certaines
fonctions lipschitziennes, appelées fonctions contractantes, interviennent dans
l'étude des points fixes.
DÉFINITION 9.8 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques.
X Une application f de E dans F est lipschitzienne si
3k E JR + 'v'(x, y) E E 2 dF(f(x),f(y)) � kd e (x, y).
X Une application f de E dans F est qualifiée d'application lipschitzienne de
rapport k, où k désigne un réel positif, si
'v'(x, y) E E 2 dF (f(x), f(y)) � k d e (x, y).
X Une application f de E dans F est qualifiée d'application contractante s'il
s'agit d'une application lipschitzienne de rapport k E [O, 1[.
Exemples
1. Une application f de (E, dE) dans (F, dF) qui est constante est lipschitzienne
de rapport 0 puisque pour tout (x, y) E E 2 on a dF (f(x), f(y)) = O. Réciproquement, toute application f de (E, dE) dans (F, dF) qui est lipschitzienne de
rapport 0 est constante car si pour tout (x, y) E E 2 on a dF (f(x), f(y)) � 0
alors dF(f(x), f(y)) = 0, autrement dit f(x) = f(y).