Limite et continuité
557
Remarques
1. Pour une application de E dans F, la propriété d' être uniformém�nt continue
n'est pas modifiée si l'on change les distances sur E et sur F pour des distances
équivalentes.
2. Il résulte des définitions 9.5 et 9.7 que toute application uniformément continue sur D est continue sur D. La réciproque n'est bien évidemment pas vraie. o
Exemples
1. To ute application f de (E, dE) dans (F, dp) constante sur D c E est uniformément continue sur D puisqu'on a dp (f(x),f(y)) = 0 pour tout (x, y) E D 2 .
2. Soit (E, d) un espace métrique ; munissons E 2 de la distance 61 définie par
01 (x,y) = d(x1, Y1) + d(x 2 , Y2) pour tous x = (x1 ,x 2 ) et y= (y1 , Y2) dans E 2
et munissons lR de la distance usuelle. Montrons que l'application d de E 2
dans lR est uniformément continue sur E 2 . En utilisant successivement les deux
inégalités triangulaires c28> , on établit que pour tous x = (xi , x 2 ) E E 2 et y=
(y1 , Y2) E E 2 :
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , Y 2 ) I
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , x 2 ) + d(yi , x 2 ) - d(y1 , Y 2 ) 1
� l d(x1 ,x 2 ) - d(y1 ,x 2 ) I + l d(y1 ,x 2 ) - d(y1 , Y2 ) I
� d(x1 , Y1 ) +d(x 2 , Y2 )=01 (x,y).
On en déduit que pour tout e E JR+, il existe 'r/ E JR+ (prendre rJ = e) tel que
pour tout (x, y) E E 2 x E 2 , si 01 (x, y) � 'rJ alors l d(yi , Y2) - d(x1 , x 2 ) I � 'rJ = e .
On a ainsi montré qu'une distance sur un ensemble E est une application
uniformément continue de E 2 dans JR + .
3. L'application f : x E lR r-+ H
1
l x l
E lR est uniformément continue sur R En
effet, puisque pour tout (x, y) E IR 2 on a l x l + 1 ? 1 et IYI + 1 ? 1, on obtient :
1 IYl - l x l 1
I
l f(x) - f(y) I = (l + l x l )(l + IYI ) � l lYI - l x l � IY - xi .
On en déduit que pour tout e E JR+, il existe rJ E JR+ (prendre 'rJ = e) tel que
pour tout (x, y) E IR 2 , si l x -y l � 'rJ alors lf(y) - f(x) I � IY - x i = 'r/ = e .
4. Soit (E, 11 · ll E) un OC-espace vectoriel normé et v 1 , . . . , Vn des vecteurs de E
non tous nuls. Montrons que l'application
n
f: (x1 , . .. ,x n ) E oc n t-+ l: xi . Vi E E
i=l
(28) Voir la définition 7.1 p. 345 et la proposition 7. 1 p. 351.
557
Remarques
1. Pour une application de E dans F, la propriété d' être uniformém�nt continue
n'est pas modifiée si l'on change les distances sur E et sur F pour des distances
équivalentes.
2. Il résulte des définitions 9.5 et 9.7 que toute application uniformément continue sur D est continue sur D. La réciproque n'est bien évidemment pas vraie. o
Exemples
1. To ute application f de (E, dE) dans (F, dp) constante sur D c E est uniformément continue sur D puisqu'on a dp (f(x),f(y)) = 0 pour tout (x, y) E D 2 .
2. Soit (E, d) un espace métrique ; munissons E 2 de la distance 61 définie par
01 (x,y) = d(x1, Y1) + d(x 2 , Y2) pour tous x = (x1 ,x 2 ) et y= (y1 , Y2) dans E 2
et munissons lR de la distance usuelle. Montrons que l'application d de E 2
dans lR est uniformément continue sur E 2 . En utilisant successivement les deux
inégalités triangulaires c28> , on établit que pour tous x = (xi , x 2 ) E E 2 et y=
(y1 , Y2) E E 2 :
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , Y 2 ) I
l d(x1 , x 2 ) - d(y1 , x 2 ) + d(yi , x 2 ) - d(y1 , Y 2 ) 1
� l d(x1 ,x 2 ) - d(y1 ,x 2 ) I + l d(y1 ,x 2 ) - d(y1 , Y2 ) I
� d(x1 , Y1 ) +d(x 2 , Y2 )=01 (x,y).
On en déduit que pour tout e E JR+, il existe 'r/ E JR+ (prendre rJ = e) tel que
pour tout (x, y) E E 2 x E 2 , si 01 (x, y) � 'rJ alors l d(yi , Y2) - d(x1 , x 2 ) I � 'rJ = e .
On a ainsi montré qu'une distance sur un ensemble E est une application
uniformément continue de E 2 dans JR + .
3. L'application f : x E lR r-+ H
1
l x l
E lR est uniformément continue sur R En
effet, puisque pour tout (x, y) E IR 2 on a l x l + 1 ? 1 et IYI + 1 ? 1, on obtient :
1 IYl - l x l 1
I
l f(x) - f(y) I = (l + l x l )(l + IYI ) � l lYI - l x l � IY - xi .
On en déduit que pour tout e E JR+, il existe rJ E JR+ (prendre 'rJ = e) tel que
pour tout (x, y) E IR 2 , si l x -y l � 'rJ alors lf(y) - f(x) I � IY - x i = 'r/ = e .
4. Soit (E, 11 · ll E) un OC-espace vectoriel normé et v 1 , . . . , Vn des vecteurs de E
non tous nuls. Montrons que l'application
n
f: (x1 , . .. ,x n ) E oc n t-+ l: xi . Vi E E
i=l
(28) Voir la définition 7.1 p. 345 et la proposition 7. 1 p. 351.