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Limite et continuité dans un espace métrique
où x = (x1 , . .. , xq) et y= (Y1, ... , y q) · Ces distances sont équivalentes.
PROPOSITION 9.15 L'application f : X E E f-+ (f1(x), . .. ' fq(x)) E F est
continue en a E E si et seulement si pour tout entier i avec 1 ::::; i ::::; p,
l'application fi de E dans Fi est continue en a.
Démonstration Considérons sur l'espace produit F = F1 x . . . x F q la distance dF définie par la relation (11). L'application f est continue en a si
'v't: ElR� 317 ElR� 'v'x EE (dE(x,a) ,,;; 17 ===? dF (f(x), f(a)) :::; ; t: ) .
Puisque dF(f (x), f(a)) = max(d1 (!1 (x), fi (a)), ... , d q(fq (x), fq(a))), la condition dF(f(x), f(a)) ::::; t: implique que � (fi(x), fi(a)) ::::; t: pour tout entier i avec
1 ::::; i ::::; n. On en déduit pour tout i E { 1, ... , n} l'assertion
D'après la définition 9.5, on en déduit que fi est continue en a. On établit la
réciproque en remarquant que si di(fi(x), fi(a)) ::::; e pour tout i E {1, ... , n} ,
alors
dF(f(x), f(a)) = max(d1 (!1(x), fi (a)), . .. , dq(fq(x), fq (a))) ::::; t:.
la proposition est démontrée.
D
9.1.3 Continuité uniforme
Étant donné deux espaces métriques (E, dE) et (F, dF ), une application f de E
dans F est continue sur un sous-ensemble D de E si :
'v'x E D 'v't: E lR� 3 11x , t: E lR� 'v'y E D
(dE(x,y) ::::; 11x , t: ===} dF(f(x), f(y)) ::::; t: ) .
Pour certaines applications, le réel 17 x , t: peut être identique pour tous les éléments x de D : il ne dépend alors pas de x. En choisissant d'imposer cette
condition à une application, on définit alors une notion plus « forte » que la
continuité appelée continuité uniforme.
DÉFINITION 9.7 Soient (E,dE) et (F, dF) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. On dit que f est
uniformément continue sur D si
'v't: E lR� 317 E lR� 'v'(x, y) E D 2 ( dE(X, y) ::::; 11 ===} dF (f(x), f(y)) ::::; é ) .
Limite et continuité dans un espace métrique
où x = (x1 , . .. , xq) et y= (Y1, ... , y q) · Ces distances sont équivalentes.
PROPOSITION 9.15 L'application f : X E E f-+ (f1(x), . .. ' fq(x)) E F est
continue en a E E si et seulement si pour tout entier i avec 1 ::::; i ::::; p,
l'application fi de E dans Fi est continue en a.
Démonstration Considérons sur l'espace produit F = F1 x . . . x F q la distance dF définie par la relation (11). L'application f est continue en a si
'v't: ElR� 317 ElR� 'v'x EE (dE(x,a) ,,;; 17 ===? dF (f(x), f(a)) :::; ; t: ) .
Puisque dF(f (x), f(a)) = max(d1 (!1 (x), fi (a)), ... , d q(fq (x), fq(a))), la condition dF(f(x), f(a)) ::::; t: implique que � (fi(x), fi(a)) ::::; t: pour tout entier i avec
1 ::::; i ::::; n. On en déduit pour tout i E { 1, ... , n} l'assertion
D'après la définition 9.5, on en déduit que fi est continue en a. On établit la
réciproque en remarquant que si di(fi(x), fi(a)) ::::; e pour tout i E {1, ... , n} ,
alors
dF(f(x), f(a)) = max(d1 (!1(x), fi (a)), . .. , dq(fq(x), fq (a))) ::::; t:.
la proposition est démontrée.
D
9.1.3 Continuité uniforme
Étant donné deux espaces métriques (E, dE) et (F, dF ), une application f de E
dans F est continue sur un sous-ensemble D de E si :
'v'x E D 'v't: E lR� 3 11x , t: E lR� 'v'y E D
(dE(x,y) ::::; 11x , t: ===} dF(f(x), f(y)) ::::; t: ) .
Pour certaines applications, le réel 17 x , t: peut être identique pour tous les éléments x de D : il ne dépend alors pas de x. En choisissant d'imposer cette
condition à une application, on définit alors une notion plus « forte » que la
continuité appelée continuité uniforme.
DÉFINITION 9.7 Soient (E,dE) et (F, dF) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. On dit que f est
uniformément continue sur D si
'v't: E lR� 317 E lR� 'v'(x, y) E D 2 ( dE(X, y) ::::; 11 ===} dF (f(x), f(y)) ::::; é ) .