Limite et continuité
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Considérons un entier i avec 1 � i �p. L'assertion précédente étant vraie pour
tout élément x = (x1 , ... , xp) de E, elle est vraie pour les éléments de E de
la forme x = (a1 , .. .,ai-1 , Xi,ai + 1 , ... ,ap) où Xi désigne un élément de Ei.
Désignons par a,i la i-ième application partielle de f en a. La distance dE
étant l'une des distances définies par les relations (7) à (9), on a d'une part
dE(x, a) = di (Xi, ai) et d'après la définition de la i-ième application partielle
de f en a, on a d'autre part :
f(x) = f (a1 , ... , ai - 1 , Xi, ai + 1 , ... , ap) = a,i(xi)
avec f(a) = a,i(ai) · L'assertion (10) implique donc que :
Vé E �� 317 E �� Vxi E Ei (di(Xi,ai) � 1] ===? dp(a,i(Xi) ,a,i(ai)) � é ) .
D'après la définition 9.5, cela signifie que a,i est continue en ai.
D
La proposition 9.14 n'admet pas de réciproque : toutes les applications partielles de f en a peuvent être continues sans que f soit continue en a. Par
exemple, l'application
si (x1 , x 2 ) "# (0, 0)
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
n'est pas continue en (0, 0) (voir les exemples de la p. 537) alors que les
deux applications partielles en (0, 0) le sont (les deux applications partielles
co,0),1 et co,0), 2 sont toutes deux égales à l'application nulle).
D'un point de vue pratique, la proposition 9.14 est souvent utilisée sous sa
forme contraposée pour montrer qu'une application f définie sur un espace
produit E = E1 x . . . x Ep n'est pas continue en a= (a1 , ... , av) E E: si l'une
des applications partielles de f en a, disons la i-ème, n'est pas continue en ai
alors f n'est pas continue en a. Par exemple, l'application :
si (x1 , x 2 ) "# (0, 0)
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
n'est pas continue en (0, 0) car la première application partielle en 0 qui est
l'application co,o),1 définie par (o,o), l (xi ) = l/x1 si x1 "# 0 et co,0),1 (0) = 0
n'est pas continue en x1 =O.
Applications à valeurs dans un produit d'espaces métriques
Soient (E, dE), (F1 , d1), ... , (F q , d q ) des espaces métriques et F = F1 x . . . x F q
l'espace produit muni de l'une des distances dp défi nies par :
(x, y) E F 2 f--- --4 max(d1 (x1 , Y1), ... , d q (x q , Yq) ),
(11)
(x, y) E F 2 f--- --4 d1 (x1 , Y1) + · · · + d q(Xq , Yq),
(12)
(x, y) E F 2 f--- --4 J d1 (x1 , yi ) 2 + · · · + d q (X q , Yq) 2 ,
(13)