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Limite et continuité dans un espace métrique
On en déduit que pour tout réel é E !Rf-, il existe un réel T/ E !Rf- (il suffit de
prendre T/ = é) tel que pour tout X E E si o(x, y) ::::; 17 alors dk(Pk(x), pk(y)) ::::; é .
L'application Pk est continue en y pour tout y E E. On en conclut que pour
tout k E {1, ... , p}, l'application Pk est continue sur E.
0
DÉFINITION 9.6 (Applications partielles)
Soient D un sous-ensemble de l'espace produit E1 x · · · x Ep, f une application
de D dans F et a = (a1 , ... , av) un élément de U. Pour tout entier i avec
1 ::::; i ::::; p, on appelle i-ième application partielle de f en a l'application
Exemples
1. La i-ième application partielle de f : (x1 , ... , Xn) E !R n � X1 + · · · + Xn en
a = (0, ... , 0) est a= (1, . . . , 1) est 2 . L'application f : (xi , x 2 ) E IR 2 1---+ xi + x�
{ xix 2 s i (x1 , x 2 )=/:-(0, 0)
1
si (x1 , x 2 ) = (0, 0)
admet pour applications partielles en a= (0, 0) les applications
Si X1 =/:- 0
si X1 = 0 et Si X 2 =/:- 0
si X 2 = 0
3. Notons U la matrice de Mn(OC) dont tous les coefficients valent 1. L'application f : (A, B) E Mn (OC) 2 � A x B - B x A, appelée commutateur de A
et B, admet pour première application partielle en (U, 1) où I E Mn(OC) désigne la matrice identité, l'application A E Mn(OC) � 0 où 0 E Mn(OC) désigne
l'application nulle. La seconde application partielle en (U, 1) est l'application
B E Mn(OC) � (2=� =l (bk i - bik) ) i î
PROPOSITION 9.14 Soient (E, de) dans (F, d F) deux espaces métriques, f
une application de E dans F et a= (a1 , ... , av) un élément de E. Si f est
continue en a alors pour tout entier i avec 1 ::( i ::( p, la i-ième application
partielle de f en a est continue en ai .
Démonstration Supposons que f soit continue en a ; on a
"lé E IR� 3ry E IR� "lx E E (de(x,a) ::( T/ ==> d F (f(x),f(a)) ::( é ) . (10)