Limite et continuité
553
Remarques
1. Plus généralement, on montre que toute forme n-linéaire < 2 7> sur
E = E1 x · · · x E n continue en OE est continue sur E.
2. Le déterminant d'une matrice A E M n (1R) étant défini comme le déterminant
dans la base canonique de ]R n de ses n vecteurs colonnes, la proposition 9.12
indique que l'application qui à une matrice associe son déterminant est continue
sur M n (1R).
3. La proposition 9.12 a été démontrée pour le déterminant d'ordre n par rapport à une base B = (e1, ... , e n ) de ]R n compte tenu du fait que l'inégalité
d'Hadamard a été établie pour des vecteurs de ]R n (on utilise des résultats
concernant les espaces euclidiens). La propriété de continuité de l'application
déterminant est toutefois encore vraie pour des vecteurs de e n et peut être établie par une approche analogue à celle présentée ici en exploitant les propriétés
des espaces dits « hermitiens ».
o
Applications définies sur un produit d'espaces métriques
Soient (F, dp) et (E1,d1), . . ., (E p , dp) des espaces métriques (p E N*). On
munit l'espace produit E = E1 x · · · x E p d'une des distances dE définies par :
(x, y) E E 2 f--- -+ max(d1(x i ,y1), ... , dp ( X v , Y v )),
(x, y) EE 2 f--- -+ d1(x1, Y 1) + · .. +d v (x p ,y p ),
(x, y) E E 2 f--- -+ V d1 (x1 , Y 1) 2 + · · · + dp ( Xp , Y v ) 2 ,
(7)
(8)
(9)
où x = (x1,. . ., x v ) et y = ( Y 1,. . ., Y v ) · Ces distances sont équivalentes, voir
p. 356.
PROPOSITION 9.13 Pour tout k E {1, ... ,p}, la k-ème fo nction de projection Pk : (x1 , ... , x p ) E E � X k E Ek est une application continue sur E.
Démonstration Considérons sur l'espace produit E = E1 x · · · x E v la distance o définie par la relation (7). Pour montrer que l'application Pk est continue sur E pour tout k E {1, . . . ,p } , il faut montrer pour tout y E E l'assertion
suivante :
Soit y = (y1 , ... , Y v ) un élément quelconque de E; pour tout x = (x1, ... , x v ) E E
on a
<27> Voir la définition 11.5 p. 473 du Cours de première année.
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Remarques
1. Plus généralement, on montre que toute forme n-linéaire < 2 7> sur
E = E1 x · · · x E n continue en OE est continue sur E.
2. Le déterminant d'une matrice A E M n (1R) étant défini comme le déterminant
dans la base canonique de ]R n de ses n vecteurs colonnes, la proposition 9.12
indique que l'application qui à une matrice associe son déterminant est continue
sur M n (1R).
3. La proposition 9.12 a été démontrée pour le déterminant d'ordre n par rapport à une base B = (e1, ... , e n ) de ]R n compte tenu du fait que l'inégalité
d'Hadamard a été établie pour des vecteurs de ]R n (on utilise des résultats
concernant les espaces euclidiens). La propriété de continuité de l'application
déterminant est toutefois encore vraie pour des vecteurs de e n et peut être établie par une approche analogue à celle présentée ici en exploitant les propriétés
des espaces dits « hermitiens ».
o
Applications définies sur un produit d'espaces métriques
Soient (F, dp) et (E1,d1), . . ., (E p , dp) des espaces métriques (p E N*). On
munit l'espace produit E = E1 x · · · x E p d'une des distances dE définies par :
(x, y) E E 2 f--- -+ max(d1(x i ,y1), ... , dp ( X v , Y v )),
(x, y) EE 2 f--- -+ d1(x1, Y 1) + · .. +d v (x p ,y p ),
(x, y) E E 2 f--- -+ V d1 (x1 , Y 1) 2 + · · · + dp ( Xp , Y v ) 2 ,
(7)
(8)
(9)
où x = (x1,. . ., x v ) et y = ( Y 1,. . ., Y v ) · Ces distances sont équivalentes, voir
p. 356.
PROPOSITION 9.13 Pour tout k E {1, ... ,p}, la k-ème fo nction de projection Pk : (x1 , ... , x p ) E E � X k E Ek est une application continue sur E.
Démonstration Considérons sur l'espace produit E = E1 x · · · x E v la distance o définie par la relation (7). Pour montrer que l'application Pk est continue sur E pour tout k E {1, . . . ,p } , il faut montrer pour tout y E E l'assertion
suivante :
Soit y = (y1 , ... , Y v ) un élément quelconque de E; pour tout x = (x1, ... , x v ) E E
on a
<27> Voir la définition 11.5 p. 473 du Cours de première année.