Limite et continuité
543
Propriétés de la limite dans un espace vectoriel normé
PROPOSITION 9.5 Soient (E, 11 · ll E) et (F, 11 · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés, Dun sous-ensemble de E et fi et h deux applications de D dans F.
Si fi et h admettent pour limites respectives e 1 et f 2 en Xo E D ' alors quels
que soient À1, À 2 dans IK, l'application >.1 · fi + À 2 · h admet une limite en
xo ED qui est À1f1 + À 2 f 2 .
Démonstration Supposons que les deux applications fi et h de D dans F
admettent pour limites respectives f1 et f 2 en xo E D et notons f = À1 · fi +
À 2 . h et e = À1f1 + À 2 f 2 . Pour tout XE D, on a f(x) = À1 fi (x) + À 2 h (x) et
en exploitant les propriétés de la norme, on obtient :
ll f(x) - f ilF
ii >.1( !1(x) - fi)+ À 2 ( f2 (x) - f 2 ) i1 F
:::: :; i >.11 ll fi (x) - f1 llF + i >. 2 1 llh (x) - f 2 llF ·
Commençons par supposer que À1 =/: 0 et >. 2 =/: 0 et considérons un réel strictement positif €; d'après la définition 9. 1 on a
3171 E IR� Vx ED (lix - xo li E :::: :; 171 ===? ii fi (x) - f1 llF :::: :; 2 1 l1 1 é)
et 317 2 E IR� Vx ED (llx - xo li E :::: :; 17 2 ===? iif2 (x) - f 2 iiF :::: :; 2 1 t1 é) .
On en déduit que pour x ED avec dE(x, xo) :::: :; 17 où 17 = min(171 ,17 2 ) on a
On a donc démontré que
Vé E IR� 3171 E IR� Vx ED (llx - xo ii E :::: :; 17 ===? il f(x) - f llF :::: :; é),
autrement dit que f = À1 . fi + À 2 . h admet pour limite e = À1f1 + À 2 f 2 en
xo E D. Dans le cas où >.1 = 0 et À 2 =/: 0 et dans le cas où À 2 .= 0 et À1 =/: 0,
le raisonnement précédent s'adapte sans difficulté en ne considérant qu'une des
deux majorations à chaque fois. Si >.1 = 0 et >. 2 = 0 alors f est l'application
nulle ; elle admet pour limite 0 en xo qui est bien de la forme À1f1 + À 2 f 2 . 0
Limite d'un produit dans une algèbre normée
Afin de pouvoir considérer, comme dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, la limite du produit de deux fonctions à valeurs dans un OC-espace
vectoriel normé, il faut pouvoir munir cet espace d'arrivée d'une loi de composition interne produit x. Il n'est pas toujol,lrS possible de le faire. On est amené
à définir la notion d ' algèbre normée.
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Propriétés de la limite dans un espace vectoriel normé
PROPOSITION 9.5 Soient (E, 11 · ll E) et (F, 11 · llF ) deux OC-espaces vectoriels
normés, Dun sous-ensemble de E et fi et h deux applications de D dans F.
Si fi et h admettent pour limites respectives e 1 et f 2 en Xo E D ' alors quels
que soient À1, À 2 dans IK, l'application >.1 · fi + À 2 · h admet une limite en
xo ED qui est À1f1 + À 2 f 2 .
Démonstration Supposons que les deux applications fi et h de D dans F
admettent pour limites respectives f1 et f 2 en xo E D et notons f = À1 · fi +
À 2 . h et e = À1f1 + À 2 f 2 . Pour tout XE D, on a f(x) = À1 fi (x) + À 2 h (x) et
en exploitant les propriétés de la norme, on obtient :
ll f(x) - f ilF
ii >.1( !1(x) - fi)+ À 2 ( f2 (x) - f 2 ) i1 F
:::: :; i >.11 ll fi (x) - f1 llF + i >. 2 1 llh (x) - f 2 llF ·
Commençons par supposer que À1 =/: 0 et >. 2 =/: 0 et considérons un réel strictement positif €; d'après la définition 9. 1 on a
3171 E IR� Vx ED (lix - xo li E :::: :; 171 ===? ii fi (x) - f1 llF :::: :; 2 1 l1 1 é)
et 317 2 E IR� Vx ED (llx - xo li E :::: :; 17 2 ===? iif2 (x) - f 2 iiF :::: :; 2 1 t1 é) .
On en déduit que pour x ED avec dE(x, xo) :::: :; 17 où 17 = min(171 ,17 2 ) on a
On a donc démontré que
Vé E IR� 3171 E IR� Vx ED (llx - xo ii E :::: :; 17 ===? il f(x) - f llF :::: :; é),
autrement dit que f = À1 . fi + À 2 . h admet pour limite e = À1f1 + À 2 f 2 en
xo E D. Dans le cas où >.1 = 0 et À 2 =/: 0 et dans le cas où À 2 .= 0 et À1 =/: 0,
le raisonnement précédent s'adapte sans difficulté en ne considérant qu'une des
deux majorations à chaque fois. Si >.1 = 0 et >. 2 = 0 alors f est l'application
nulle ; elle admet pour limite 0 en xo qui est bien de la forme À1f1 + À 2 f 2 . 0
Limite d'un produit dans une algèbre normée
Afin de pouvoir considérer, comme dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, la limite du produit de deux fonctions à valeurs dans un OC-espace
vectoriel normé, il faut pouvoir munir cet espace d'arrivée d'une loi de composition interne produit x. Il n'est pas toujol,lrS possible de le faire. On est amené
à définir la notion d ' algèbre normée.