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Limite et continuité dans un espace m é trique
On dispose donc d'une suite (un)n qui converge vers xo (car pour tout n EN*
on a dE(un, xo) :::; ; 1/n) mais comme
la suite de terme général f(un) ne converge pas vers P. C'est en contradiction
avec nos hypothèses.
0
Opérations algébriques sur la limite
Le résultat suivant précise les conditions d'existence et la valeur de la limite de
la composée de deux applications.
PROPOSITION 9.4 Soient (E, dE), (F, dp) et (G, de) trois espaces métriques,
f une application de E dans F et g une application de F dans G. Si f admet
pour limite Yo E F en xo E E et que g admet pour limite f E G en Yo E F
alors l'application composée go f admet pour limite f en xo.
Démonstration Par hypothèse, comme f admet pour limite y0 en x0, on a
et comme g admet pour limite f en yo , on a
Pour montrer que go f admet pour limite f en x0, il faut montrer que
'VtElR� 377 ElR� Vx EE (dE(x ,xo) :::; ; 77 ===? dc(g(f(x)), P. ) :::; ; t ) . (5)
Soit t un réel strictement positif fixé, x un élément de E et y = f ( x) un élément
de F. D'après l'assertion (4) considérée avec t 2
=
t, il existe 7] 2 E JR+ tel que
si dp(y,yo) = dp(f(x), yo) :::; ; 7] 2 alors dc(g(y),f) = dc(g(f(x)),f) :::; ; €. D'après
l'assertion (3) considérée avec t1 = 7] 2 , il existe 7]1 E JR+ tel que si d(x, xo) :::; ; 7]1
alors dp(f(x), Yo) :::; ; 7] 2 . En combinant ces deux propriétés, on en déduit que si
x E E est tel que dE(x,xo) :::; ; 771 alors dc (g(f(x)),f) :::; ; e. L'assertion (5) est
démontrée.
0
Un espace métrique n'étant pas nécessairement muni de lois de composition
interne, il n'est pas possible d'énoncer de résultat sur la limite d'une somme
ou d'un produit d'applications. Dans le cas d'un OC-espace vectoriel normé, on
dispose toutefois d'une loi somme et d'une loi de composition externe pour
lesquelles il est possible de préciser le comportement vis à vis de la limite.
Limite et continuité dans un espace m é trique
On dispose donc d'une suite (un)n qui converge vers xo (car pour tout n EN*
on a dE(un, xo) :::; ; 1/n) mais comme
la suite de terme général f(un) ne converge pas vers P. C'est en contradiction
avec nos hypothèses.
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Opérations algébriques sur la limite
Le résultat suivant précise les conditions d'existence et la valeur de la limite de
la composée de deux applications.
PROPOSITION 9.4 Soient (E, dE), (F, dp) et (G, de) trois espaces métriques,
f une application de E dans F et g une application de F dans G. Si f admet
pour limite Yo E F en xo E E et que g admet pour limite f E G en Yo E F
alors l'application composée go f admet pour limite f en xo.
Démonstration Par hypothèse, comme f admet pour limite y0 en x0, on a
et comme g admet pour limite f en yo , on a
Pour montrer que go f admet pour limite f en x0, il faut montrer que
'VtElR� 377 ElR� Vx EE (dE(x ,xo) :::; ; 77 ===? dc(g(f(x)), P. ) :::; ; t ) . (5)
Soit t un réel strictement positif fixé, x un élément de E et y = f ( x) un élément
de F. D'après l'assertion (4) considérée avec t 2
=
t, il existe 7] 2 E JR+ tel que
si dp(y,yo) = dp(f(x), yo) :::; ; 7] 2 alors dc(g(y),f) = dc(g(f(x)),f) :::; ; €. D'après
l'assertion (3) considérée avec t1 = 7] 2 , il existe 7]1 E JR+ tel que si d(x, xo) :::; ; 7]1
alors dp(f(x), Yo) :::; ; 7] 2 . En combinant ces deux propriétés, on en déduit que si
x E E est tel que dE(x,xo) :::; ; 771 alors dc (g(f(x)),f) :::; ; e. L'assertion (5) est
démontrée.
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Un espace métrique n'étant pas nécessairement muni de lois de composition
interne, il n'est pas possible d'énoncer de résultat sur la limite d'une somme
ou d'un produit d'applications. Dans le cas d'un OC-espace vectoriel normé, on
dispose toutefois d'une loi somme et d'une loi de composition externe pour
lesquelles il est possible de préciser le comportement vis à vis de la limite.