Limite et continuité
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qui indique que la suite de terme général Un = f(n) converge vers f, dans
(F, dF ), voir la définition 7.16 p. 388.
On a ainsi explicité le lien existant entre la limite d'une application et la limite
d'une suite : la définition donnée pour la limite d'une suite ( un)n dans un espace
métrique (F, dF) correspond à la limite de l'application f : n E N � Un E F
en +oo au sens de la définition 9.1 pour la distance d, ou pour toute distance
qui lui est équivalente.
On a également le résultat suivant qui relie limite d'une application et limite
d'une suite.
PROPOSITION 9.3 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette pour limite l'élément R de F en
x0 E D est que pour toute suite (un)n d 'éléments de D convergeant vers xo
dans (E, d), la suite de terme général f(un) converge dans (F, dF) vers R.
Démonstration !:'.'.: Supposons que f admette pour limite l'élément f, de F
en xo et considérons une suite (un)n convergeant vers xo. Soit € E JR+ fixé ;
puisque f admet pour limite R en xo,
377 E IR� Vx ED (dE(x, xo) :S:: 77 ====? dF (f(x), R) :S:: é)
(2)
et puisque < 6 > la suite (un)n converge vers xo dan E,
3N EN Vn EN (n � N ====? dE(un,xo) :S:: 77).
Pour n � Non a dE(un,xo) ::;:: 17 donc dF (f(un),R) ::;:: € d'après l'assertion (2).
On a donc établi que :
autrement dit < 6 > que la suite de terme général f(un) converge vers R.
!:'.'.: Pour montrer la réciproque, raisonnons par l'absurde. Supposons que pour
toute suite (un)n convergeant vers xo dans (E, dE), la suite de terme général
f (un) converge vers R dans (F, d F) et que f n'admet pas pour limite R en xo.
Montrons que l'on aboutit alors à une contradiction. La négation de l'assertion
« f admet pour limite R en Xo » s'écrit :
Pour la valeur de € donnée par l'assertion précédente, en prenant pour 17 des
valeurs de la forme l/n où n E N*, on obtient :
(G) Voir la définition 7.16 p. 388.
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qui indique que la suite de terme général Un = f(n) converge vers f, dans
(F, dF ), voir la définition 7.16 p. 388.
On a ainsi explicité le lien existant entre la limite d'une application et la limite
d'une suite : la définition donnée pour la limite d'une suite ( un)n dans un espace
métrique (F, dF) correspond à la limite de l'application f : n E N � Un E F
en +oo au sens de la définition 9.1 pour la distance d, ou pour toute distance
qui lui est équivalente.
On a également le résultat suivant qui relie limite d'une application et limite
d'une suite.
PROPOSITION 9.3 Soient (E, dE) et (F, dF) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette pour limite l'élément R de F en
x0 E D est que pour toute suite (un)n d 'éléments de D convergeant vers xo
dans (E, d), la suite de terme général f(un) converge dans (F, dF) vers R.
Démonstration !:'.'.: Supposons que f admette pour limite l'élément f, de F
en xo et considérons une suite (un)n convergeant vers xo. Soit € E JR+ fixé ;
puisque f admet pour limite R en xo,
377 E IR� Vx ED (dE(x, xo) :S:: 77 ====? dF (f(x), R) :S:: é)
(2)
et puisque < 6 > la suite (un)n converge vers xo dan E,
3N EN Vn EN (n � N ====? dE(un,xo) :S:: 77).
Pour n � Non a dE(un,xo) ::;:: 17 donc dF (f(un),R) ::;:: € d'après l'assertion (2).
On a donc établi que :
autrement dit < 6 > que la suite de terme général f(un) converge vers R.
!:'.'.: Pour montrer la réciproque, raisonnons par l'absurde. Supposons que pour
toute suite (un)n convergeant vers xo dans (E, dE), la suite de terme général
f (un) converge vers R dans (F, d F) et que f n'admet pas pour limite R en xo.
Montrons que l'on aboutit alors à une contradiction. La négation de l'assertion
« f admet pour limite R en Xo » s'écrit :
Pour la valeur de € donnée par l'assertion précédente, en prenant pour 17 des
valeurs de la forme l/n où n E N*, on obtient :
(G) Voir la définition 7.16 p. 388.