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Limite et continuité dans un espace métrique
Remarque On s'apercoit dans la démonstration du théorème 9.1, que l'encadrement f(x) ::::; ;; g(x) ::::; ;; h(x) n'est requis « qu'au voisinage » de xo, c'est-à-dire
sur un ensemble de la forme B(x0, r) n D où r E JR+.
o
La proposition suivante, utilisée conjointement avec le théorème d'encadrement
est d'un usage pratique très intéressant. Elle ramène l'étude de la limite d'une
fonction entre deux espaces métriques, à l'étude de la limite d'une fonction à
valeurs réelles.
PROPOSITION 9.2 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F.
L'application f admet pour limite R. E F en Xo E D si et seulement si l 'application x E D � dp (x, R.) E IR, où l'ensemble lR est muni de la distance
usuelle, admet pour limite le réel 0 en xo.
Démonstration La justification de ce résultat est immédiate en utilisant la
définition 9.1. En effet, l'application f admet pour limite R. E Fen x0 ED si
Munissons lR de la distance usuelle ; l'application if; : x E D � dp (x, R.) E JR
admet pour limite le réel 0 en x0 si
'
identiques.
0
Lien avec la notion de limite d'une suite
Intéressons-nous au cas particulier oil E = i est muni de la distance (voir
p. 347)
d: (x, y) E ixi � lc/J(x)-ef;(y)I
{ X
-
1 + X
OÙ if; : X E JR f--+
l
I 1
-1
si X E JR
si x = +oo
Si X= -OO
Considérons une application f de D = N dans (F, dp) ; cette application admet
une limite en Xo = +oo s'il existe un élément e de F tel que
Vé EIR� 377 EIR� Vx EN (d(x , +00) ::::; ;; 17 ===? dp(f(x),f) :::; ;; é) . ( 1)
Pour x E N, on a :
d(x, +oo) ::::; ;; 77 {::: :: :: :} li - 1 : X 1 ::::; ;; 77 {::: :: :: :} 1 � X ::::; ;; 77 {::: :: :: :} X � � - 1.
En posant N = E(77- 1 ), l'assertion (1) est donc équivalente à l'assertion :
Limite et continuité dans un espace métrique
Remarque On s'apercoit dans la démonstration du théorème 9.1, que l'encadrement f(x) ::::; ;; g(x) ::::; ;; h(x) n'est requis « qu'au voisinage » de xo, c'est-à-dire
sur un ensemble de la forme B(x0, r) n D où r E JR+.
o
La proposition suivante, utilisée conjointement avec le théorème d'encadrement
est d'un usage pratique très intéressant. Elle ramène l'étude de la limite d'une
fonction entre deux espaces métriques, à l'étude de la limite d'une fonction à
valeurs réelles.
PROPOSITION 9.2 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F.
L'application f admet pour limite R. E F en Xo E D si et seulement si l 'application x E D � dp (x, R.) E IR, où l'ensemble lR est muni de la distance
usuelle, admet pour limite le réel 0 en xo.
Démonstration La justification de ce résultat est immédiate en utilisant la
définition 9.1. En effet, l'application f admet pour limite R. E Fen x0 ED si
Munissons lR de la distance usuelle ; l'application if; : x E D � dp (x, R.) E JR
admet pour limite le réel 0 en x0 si
'
identiques.
0
Lien avec la notion de limite d'une suite
Intéressons-nous au cas particulier oil E = i est muni de la distance (voir
p. 347)
d: (x, y) E ixi � lc/J(x)-ef;(y)I
{ X
-
1 + X
OÙ if; : X E JR f--+
l
I 1
-1
si X E JR
si x = +oo
Si X= -OO
Considérons une application f de D = N dans (F, dp) ; cette application admet
une limite en Xo = +oo s'il existe un élément e de F tel que
Vé EIR� 377 EIR� Vx EN (d(x , +00) ::::; ;; 17 ===? dp(f(x),f) :::; ;; é) . ( 1)
Pour x E N, on a :
d(x, +oo) ::::; ;; 77 {::: :: :: :} li - 1 : X 1 ::::; ;; 77 {::: :: :: :} 1 � X ::::; ;; 77 {::: :: :: :} X � � - 1.
En posant N = E(77- 1 ), l'assertion (1) est donc équivalente à l'assertion :