Limite et continuité
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En effet, d'après la définition 9.1, l'application f de D dans iR muni de la
distance d admet pour limite +oo en x0 E D si
Ve E IR'f- 377 E IR'f- Vx ED (ds(x, xo) ::::; 17 ===? d(f(x), +oo) ::::; e) .
Or,
1 f (x) 1 1
d(f(x), +oo) = 1 + f(x)
- 1 = II + f(x)I
donc pour une fonction f à valeurs positives, d(f(x), +oo) ::::; e équivaut à
f(x) + 1 � 1/e. En posant K = 1/e - 1, on établit le lien entre les deux
assertions.
Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, on dispose également du résultat
suivant qui généralise le théorème d'encadrement pour les fonctions réelles de
la variable réelle <5> .
THÉORÈME 9.1 (Théorème d'encadrement)
Soient (E, de) un espace métrique, D un sous-ensemble de E et f,g, h trois
applications de D dans lR ;
- si les applications f et h ont pour limite le réel e en Xo E D'
- et si pour tout x ED on a f(x) ::::; g(x) ::::; h(x),
alors g admet pour limite f en Xo.
Démonstration Puisque les applications f et h ont pour limite le réel e en Xo,
d'après la définition 9.1 on a :
et
Ve E �'f- 3771 E !R'f- Vx ED
Ve E !R'f- 377 2 E IR'f- Vx E D
(de(x,xo) ::::; 7]1 ===? l f(x) - f l ::::; e) ,
(de(x, xo) ::;; 17 2 ===} i h(x) - fj ::;; e ) .
Soit e un réel strictement positif fixé ; pour tout x E V où V est l'ensemble
B(xo,17 1) n B(x0,17 2 ) nD on a -e ::::; f(x) - e ::::; e et -e ::::; h(x) - f ::::; ê . Comme
par hypothèse, pour tout x E D on a f(x) ::::; g(x) ::::; h(x), on en déduit que
pour x E V on a l g(x) - f l ::::; e car
-e ::::; f(x) - e ::::; g(x) - e ::::; h(x) - e ::::; e .
Puisque V est un voisinage de xo, il existe 17 E IR'f- tel que B(xo, 17) C V. On
en conclut que :
c'est-à-dire que g admet pour limite f en Xo.
D
<5> Voir le théorème 13.1 p. 577 du Cours de première année.