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Limite et continuité dans un espace métrique
PROPOSITION 9.1 Soient (E, de) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Si f admet une limite
en x0 E D alors cette limite est unique. Elle est notée lim f(x).
x-xo
xED
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que l'application f
admette deux limites f1 et f 2 distinctes en x0 E D. Considérons le réel strictement positif c = �dp(f1 , f 2 ) ; d'après la définition 9.1, on a d'une part
3171 E JR+ Vx ED (de(x, xo) :::; ; 1]1 ===? dF(f(x),f1) :::; ; c)
et d'autre part
Notons 1J = min(171 , 17 2 ) ; pour tout x E B(xo,1J) n D, d'après les assertions
précédentes, on a :
dp(f1 , f 2 ) :::; ; dp(f(x), f1 ) + dp(f(x), f 2 ) :::; ; 2 i: :::; ; �dp(f1 , f 2 ).
Cela constitue une contradiction : comme f1 -1 f 2 on a dp(f1 , f 2 ) -1 0 et cette
assertion implique que 1 :::; ; � . Il y a donc unicité de la limite.
D
Cas des fonctions à valeurs réelles
Dans le cas de fonctions à valeurs réelles, on peut introduire la notion de limite
infinie en généralisant les définitions données pour les fonctions de lR dans lR
dans le Cours de première année p. 573.
DÉFINITION 9.2 Soient (E, de) un espace métrique, D un sous-ensemble
de E et f une application de D dans lR. On munit lR de la distance usuelle.
J< On dit que f admet pour limite +oo en xo E D si
J< On dit que f admet pour limite -oo en xo E D si
V/'î, E lR 317 E JR+ Vx ED (de(x, xo) :::; ; 1J ===? f(x) :::; ; /'î,) .
Ces définitions sont conformes à la définition 9.1 lorsque l'on munit iR de la
distance c 4 > :
d : (x, y) E iRxiR t-t l
X
1 + l x l
1
-1
si XE JR
si x = +oo
Si X = -OO
Limite et continuité dans un espace métrique
PROPOSITION 9.1 Soient (E, de) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. Si f admet une limite
en x0 E D alors cette limite est unique. Elle est notée lim f(x).
x-xo
xED
Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que l'application f
admette deux limites f1 et f 2 distinctes en x0 E D. Considérons le réel strictement positif c = �dp(f1 , f 2 ) ; d'après la définition 9.1, on a d'une part
3171 E JR+ Vx ED (de(x, xo) :::; ; 1]1 ===? dF(f(x),f1) :::; ; c)
et d'autre part
Notons 1J = min(171 , 17 2 ) ; pour tout x E B(xo,1J) n D, d'après les assertions
précédentes, on a :
dp(f1 , f 2 ) :::; ; dp(f(x), f1 ) + dp(f(x), f 2 ) :::; ; 2 i: :::; ; �dp(f1 , f 2 ).
Cela constitue une contradiction : comme f1 -1 f 2 on a dp(f1 , f 2 ) -1 0 et cette
assertion implique que 1 :::; ; � . Il y a donc unicité de la limite.
D
Cas des fonctions à valeurs réelles
Dans le cas de fonctions à valeurs réelles, on peut introduire la notion de limite
infinie en généralisant les définitions données pour les fonctions de lR dans lR
dans le Cours de première année p. 573.
DÉFINITION 9.2 Soient (E, de) un espace métrique, D un sous-ensemble
de E et f une application de D dans lR. On munit lR de la distance usuelle.
J< On dit que f admet pour limite +oo en xo E D si
J< On dit que f admet pour limite -oo en xo E D si
V/'î, E lR 317 E JR+ Vx ED (de(x, xo) :::; ; 1J ===? f(x) :::; ; /'î,) .
Ces définitions sont conformes à la définition 9.1 lorsque l'on munit iR de la
distance c 4 > :
d : (x, y) E iRxiR t-t l
X
1 + l x l
1
-1
si XE JR
si x = +oo
Si X = -OO