Limite et continuité
537
Dans la pratique, on est souvent amené à s'intéresser à la limite de fonctions
de JR n dans JRP et nous consacrerons une partie de ce chapitre aux méthodes
spécifiques de calcul de limites pour les fonctions de ]R n dans JRP , voir p. 565.
La définition 9.1 permet déjà dans certains cas d'étudier la limite de telles
fonctions.
Exemples
1. Montrons que l'application f : (x1, x 2 ) E JR;
1-7
I
� ix l I
admet pour
X1 + X 2
limite 0 en (0, 0) lorsque JR 2 est muni de la distance subordonnée à la norme
infinie (x1 , x 2 ) E JR 2 1-7 max(lx1 I, l x 2 I), notée li· li= , et lR est muni de la distance
usuelle. D'après la définition 9.1, il s'agit d'établir que
Vê E JR� 317 E JR� V(x1 ,x 2 ) E JR; (ll(x1 ,x 2 ) ll= :::; 17 ===> l f(x1 ,x 2 ) I :::; ê ) .
Compte tenu des inégalités
l x1 ll x 2 I :::; max(lx1I, l x 2 1) 2 et l x1I + l x 2 I � max(lx1I, l x 2 1),
on a pour tout (x1 , x 2 ) E JR;
l x1 ll x 2 I
l f(x1 ,x 2 ) I = I I I I :::; max(lx1I, l x 2 1) = ll (x1 ,x 2 ) ll= ·
X1 + X 2
Soit ê un réel strictement positif fixé et 17 = ê ; on déduit de la majoration précédente que If ( x1 , x 2 ) 1 :::; c pour tout élément ( X1 , x 2 ) E JR; tel que
ll (x1 ,x 2 ) ll= :::; 17. L'assertion est démontrée ; l'application f admet pour limite 0 en (0, 0).
2. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E JR;
1-7
� 1 x 2 2 où JR 2 est muni de la
X 1 + X 2
distance subordonnée à la norme <3> (xi ,x 2 ) E JR 2
1-7 l x1I + l x 2 I , notée I l · Il i ,
et lR est muni de la distance usuelle. On peut remarquer qu'en restriction à
l'axe des abscisses (x 2 = 0) ou en restriction à l'axe des ordonnées (x1 = 0), f
est l'application nulle ; toutefois, l'application f n'admet pas pour limite 0 en
(0, 0). Pour l'établir, il s'agit de montrer que
3c E JR� V17 E JR� 3(x1 ,x 2 ) E JR; (ll(x1 ,x 2 ) ll1 :::; 17 et l f(x1 ,x 2 ) I > c ) .
Soient 17 E lR:f- et (x 1 ,x 2 ) = (!17, !17) ; on a ll (x1 ,x 2 ) ll1 = l xi l + l x 2 I = 17 et
1 X1X 2 1 b 2 1
If (xi , x 2 ) - OI = 2 + 2 = 1 2 + 1 2
= - 2 ·
X 1 X 2 4 17 4 17
On en déduit qu)il existe c E lR:f_ (prendre c = �) tel que pour tout 17 E JR:f_ l'élément (x1 ,x 2 ) = (!17, !17) de JR 2 vérifie l f(x1 ,x 2 )I > c. L'application f n'admet
donc pas pour limite 0 en (0, 0). On peut en fait montrer que l'application f
n'admet pas de limite en (0, 0). En effet, pour tout f, E lR, il existe c E lR:f_
(prendre c = � I l - U I) tel que pour tout 17 E JR:f_ l'élément (x1 ,x 2 ) = (!17, !17)
de 1R 2 est tel que If (x 1 , x 2 ) - e1 > c.
<3> Voir la proposition 7.4 p. 362.
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Dans la pratique, on est souvent amené à s'intéresser à la limite de fonctions
de JR n dans JRP et nous consacrerons une partie de ce chapitre aux méthodes
spécifiques de calcul de limites pour les fonctions de ]R n dans JRP , voir p. 565.
La définition 9.1 permet déjà dans certains cas d'étudier la limite de telles
fonctions.
Exemples
1. Montrons que l'application f : (x1, x 2 ) E JR;
1-7
I
� ix l I
admet pour
X1 + X 2
limite 0 en (0, 0) lorsque JR 2 est muni de la distance subordonnée à la norme
infinie (x1 , x 2 ) E JR 2 1-7 max(lx1 I, l x 2 I), notée li· li= , et lR est muni de la distance
usuelle. D'après la définition 9.1, il s'agit d'établir que
Vê E JR� 317 E JR� V(x1 ,x 2 ) E JR; (ll(x1 ,x 2 ) ll= :::; 17 ===> l f(x1 ,x 2 ) I :::; ê ) .
Compte tenu des inégalités
l x1 ll x 2 I :::; max(lx1I, l x 2 1) 2 et l x1I + l x 2 I � max(lx1I, l x 2 1),
on a pour tout (x1 , x 2 ) E JR;
l x1 ll x 2 I
l f(x1 ,x 2 ) I = I I I I :::; max(lx1I, l x 2 1) = ll (x1 ,x 2 ) ll= ·
X1 + X 2
Soit ê un réel strictement positif fixé et 17 = ê ; on déduit de la majoration précédente que If ( x1 , x 2 ) 1 :::; c pour tout élément ( X1 , x 2 ) E JR; tel que
ll (x1 ,x 2 ) ll= :::; 17. L'assertion est démontrée ; l'application f admet pour limite 0 en (0, 0).
2. Considérons l'application f : (x1 , x 2 ) E JR;
1-7
� 1 x 2 2 où JR 2 est muni de la
X 1 + X 2
distance subordonnée à la norme <3> (xi ,x 2 ) E JR 2
1-7 l x1I + l x 2 I , notée I l · Il i ,
et lR est muni de la distance usuelle. On peut remarquer qu'en restriction à
l'axe des abscisses (x 2 = 0) ou en restriction à l'axe des ordonnées (x1 = 0), f
est l'application nulle ; toutefois, l'application f n'admet pas pour limite 0 en
(0, 0). Pour l'établir, il s'agit de montrer que
3c E JR� V17 E JR� 3(x1 ,x 2 ) E JR; (ll(x1 ,x 2 ) ll1 :::; 17 et l f(x1 ,x 2 ) I > c ) .
Soient 17 E lR:f- et (x 1 ,x 2 ) = (!17, !17) ; on a ll (x1 ,x 2 ) ll1 = l xi l + l x 2 I = 17 et
1 X1X 2 1 b 2 1
If (xi , x 2 ) - OI = 2 + 2 = 1 2 + 1 2
= - 2 ·
X 1 X 2 4 17 4 17
On en déduit qu)il existe c E lR:f_ (prendre c = �) tel que pour tout 17 E JR:f_ l'élément (x1 ,x 2 ) = (!17, !17) de JR 2 vérifie l f(x1 ,x 2 )I > c. L'application f n'admet
donc pas pour limite 0 en (0, 0). On peut en fait montrer que l'application f
n'admet pas de limite en (0, 0). En effet, pour tout f, E lR, il existe c E lR:f_
(prendre c = � I l - U I) tel que pour tout 17 E JR:f_ l'élément (x1 ,x 2 ) = (!17, !17)
de 1R 2 est tel que If (x 1 , x 2 ) - e1 > c.
<3> Voir la proposition 7.4 p. 362.