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Limite et continuité dans un espace métrique
DÉFINITION 9.1 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. On dit que f admet
une limite en Xo E D s'il existe un élément e E F tel que :
L'élément e de F est appelé limite de f en Xo .
Remarques
1. Il résulte de la définition 9.1 que l'application f n'a pas de limite en xo E D
. (l l
1
"t /) F
s1 que que s0 1 <- E ,
:le E JR� Vry E IR� :lx ED (dE(x,xo) � TJ et dp(f(x),f) > e) .
2. L'existence et la valeur d'une limite ne changent pas si on remplace les distances dE et dp par des distances équivalentes. Supposons que f admette e E F
pour limite en xo E D et considérons deux distances d'e et d'p respectivement
é . 1
'
d d
( 2 )
qmva entes a E et F avec
V(x1 , x 2 ) E E 2 Ci dE(X1, x 2 ) � dÉ;(x1 , x 2 ) � C 2 dE(x1 , x 2 )
et V(y1 , Y 2 ) E F 2 C 3 dp(y1 , Y 2 ) � d 'p (y1 ,y 2 ) � C4 dp(y1 , Y 2 ),
où C1 , C 2 , C 3 et C4 désignent des réels strictement positifs. Pour tout
e' E JR+, on obtient en considérant l'assertion de la définition 9.1 avec e = e' /C4,
l'existence d'un réel strictement positif T/ tel que pour tout x E D vérifiant
dE(x,x0) � T/ on ait d'p(f(x),f) � C4 dp(f(x),f) � e'. Par ailleurs, puisque
dE(x, xo) � TJ <=? d'e(x, xo) � TJ
1
où TJ
1
= C1 TJ, on a
Ve ' E IR� 3ry ' E IR� Vx ED (de(x,xo) � ry ' => d'p(f(x),f) � e ' )
ce qui signifie que f admet également pour limite e en Xo lorsque E est muni
de la distance d'e et F est muni de la distance d'p.
3. Dans le cas où (E, 11 • ll E) et (F, 11 · llF ) sont deux OC-espaces vectoriels normés,
la définition 9.1 indique qu'une application f d'un sous-ensemble D de E à
valeurs dans F admet pour limite e en Xo E D si
Ve E IR� 377 E �� Vx ED (llx - xo ll E � 17 => li f(x) - f llF � e) .
Par ailleurs, dans le cas où les OC-espaces vectoriels sont de dimension finie,
toutes les normes étant équivalentes, en pratique on choisit celle pour laquelle
l'assertion précédente est la plus aisée à établir.
<>
(l ) Cette assertion est la négation de celle donnée à la définition 9.1.
<2> Voir la définition 7 .2 p. 352.
Limite et continuité dans un espace métrique
DÉFINITION 9.1 Soient (E, dE) et (F, dp) deux espaces métriques, D un
sous-ensemble de E et f une application de D dans F. On dit que f admet
une limite en Xo E D s'il existe un élément e E F tel que :
L'élément e de F est appelé limite de f en Xo .
Remarques
1. Il résulte de la définition 9.1 que l'application f n'a pas de limite en xo E D
. (l l
1
"t /) F
s1 que que s0 1 <- E ,
:le E JR� Vry E IR� :lx ED (dE(x,xo) � TJ et dp(f(x),f) > e) .
2. L'existence et la valeur d'une limite ne changent pas si on remplace les distances dE et dp par des distances équivalentes. Supposons que f admette e E F
pour limite en xo E D et considérons deux distances d'e et d'p respectivement
é . 1
'
d d
( 2 )
qmva entes a E et F avec
V(x1 , x 2 ) E E 2 Ci dE(X1, x 2 ) � dÉ;(x1 , x 2 ) � C 2 dE(x1 , x 2 )
et V(y1 , Y 2 ) E F 2 C 3 dp(y1 , Y 2 ) � d 'p (y1 ,y 2 ) � C4 dp(y1 , Y 2 ),
où C1 , C 2 , C 3 et C4 désignent des réels strictement positifs. Pour tout
e' E JR+, on obtient en considérant l'assertion de la définition 9.1 avec e = e' /C4,
l'existence d'un réel strictement positif T/ tel que pour tout x E D vérifiant
dE(x,x0) � T/ on ait d'p(f(x),f) � C4 dp(f(x),f) � e'. Par ailleurs, puisque
dE(x, xo) � TJ <=? d'e(x, xo) � TJ
1
où TJ
1
= C1 TJ, on a
Ve ' E IR� 3ry ' E IR� Vx ED (de(x,xo) � ry ' => d'p(f(x),f) � e ' )
ce qui signifie que f admet également pour limite e en Xo lorsque E est muni
de la distance d'e et F est muni de la distance d'p.
3. Dans le cas où (E, 11 • ll E) et (F, 11 · llF ) sont deux OC-espaces vectoriels normés,
la définition 9.1 indique qu'une application f d'un sous-ensemble D de E à
valeurs dans F admet pour limite e en Xo E D si
Ve E IR� 377 E �� Vx ED (llx - xo ll E � 17 => li f(x) - f llF � e) .
Par ailleurs, dans le cas où les OC-espaces vectoriels sont de dimension finie,
toutes les normes étant équivalentes, en pratique on choisit celle pour laquelle
l'assertion précédente est la plus aisée à établir.
<>
(l ) Cette assertion est la négation de celle donnée à la définition 9.1.
<2> Voir la définition 7 .2 p. 352.