CHAPITRE 9
Limite et continuité
L'objectif de ce chapitre est de généraliser les notions de limite et de continuité,
vues dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle dans le Cours de
première année (au chapitre 13) puis dans le cas des fonctions complexes de
la variable complexe dans le chapitre 4 de cet ouvrage, aux fonctions d'un
espace métrique (E, dE) dans un espace métrique (F, d F ). Nous insisterons
plus particulièrement sur le cas des fonctions de JR. n dans JR.P puis sur le cas des
applications linéaires compte tenu de leur importance dans la pratique. Nous
aborderons enfin dans la dernière partie du chapitre le théorème du point fixe
aux nombreuses applications en mathématiques.
9.1 Limite et continuité dans un espace métrique
Les résultats de cette première partie du chapitre énoncés dans le cadre d'espaces métriques sont transposables au cas d'espaces vectoriels normés en prenant la distance subordonnée à la norme.
9.1.1 Limite d'une fonction
Dans le cours de première année nous avions défini la limite pour une application à valeurs réelles f définie sur un sous-ensemble D de lR. de la manière
suivante : f admet pour limite f E lR. en Xo E D si
V'e E JR.� 311 E JR.� V'x ED (lx - xo l � 1J ==> l f(x) - f i � e ) .
Dans cette définition l x - xo l mesure la distance entre x et xo et l f(x) - f i
la distance entre f(x) et f. Elle s'interprète de la manière suivante : f admet
pour limite f en Xo Si pour tout réel strictement positif € la distance de f (X) à f
peut être rendue inférieure à e pour tous les réels x assez proches de x0 (dont
la distance à x0 est inférieure à un certain réel strictement positif 1J déterminé
en fonction de la valeur prise pour e).
Dans le cas d'une application d'un espace métrique (E, dE) dans un espace
métrique (F, d F ), cette définition se généralise de manière naturelle : on mesure
la distance entre x et x0 en utilisant la distance dE et on mesure la distance
entre f(x) et f en utilisant la distance dp.
Limite et continuité
L'objectif de ce chapitre est de généraliser les notions de limite et de continuité,
vues dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle dans le Cours de
première année (au chapitre 13) puis dans le cas des fonctions complexes de
la variable complexe dans le chapitre 4 de cet ouvrage, aux fonctions d'un
espace métrique (E, dE) dans un espace métrique (F, d F ). Nous insisterons
plus particulièrement sur le cas des fonctions de JR. n dans JR.P puis sur le cas des
applications linéaires compte tenu de leur importance dans la pratique. Nous
aborderons enfin dans la dernière partie du chapitre le théorème du point fixe
aux nombreuses applications en mathématiques.
9.1 Limite et continuité dans un espace métrique
Les résultats de cette première partie du chapitre énoncés dans le cadre d'espaces métriques sont transposables au cas d'espaces vectoriels normés en prenant la distance subordonnée à la norme.
9.1.1 Limite d'une fonction
Dans le cours de première année nous avions défini la limite pour une application à valeurs réelles f définie sur un sous-ensemble D de lR. de la manière
suivante : f admet pour limite f E lR. en Xo E D si
V'e E JR.� 311 E JR.� V'x ED (lx - xo l � 1J ==> l f(x) - f i � e ) .
Dans cette définition l x - xo l mesure la distance entre x et xo et l f(x) - f i
la distance entre f(x) et f. Elle s'interprète de la manière suivante : f admet
pour limite f en Xo Si pour tout réel strictement positif € la distance de f (X) à f
peut être rendue inférieure à e pour tous les réels x assez proches de x0 (dont
la distance à x0 est inférieure à un certain réel strictement positif 1J déterminé
en fonction de la valeur prise pour e).
Dans le cas d'une application d'un espace métrique (E, dE) dans un espace
métrique (F, d F ), cette définition se généralise de manière naturelle : on mesure
la distance entre x et x0 en utilisant la distance dE et on mesure la distance
entre f(x) et f en utilisant la distance dp.