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Limite et continuité dans un espace métrique
DÉFINITION 9.3 (Algèbre normée)
X Un ensemble structur[> (A, +, . , x ) est qualifié d'algèbre sur un corps OC
(ou encore de OC-algèbre) si
1. (A, +, ·) est un OC-espace vectoriel,
(8)
2. (A, +, x ) est un anneau ,
3. les lois · et x sont compatibles, i.e.
'v'(À, a, b) E K X A 2 À . (a X b) = (À . a) X b =a X (>. . b).
X On appelle OC-algèbre normée une algèbre sur le corps OC pour laquelle le
OC-espace vectoriel (A, +, ·) est muni d'une norme N vérifiant :
'v'(x, y) E A 2 N(x x y) � N(x) N(y).
Exemples
1. L'ensemble structuré (R, +, x, x ) des nombres réels muni de l'addition +et
de la multiplication x des réels est une R-algèbre (les deux multiplications ·
et x coïncident) . Muni de la valeur absolue, il s'agit d'une algèbre normée.
2. Il n'y a pas de structure naturelle d'algèbre sur l'espace vectoriel R 3 . Autrement dit, on ne sait pas construire une multiplication entre les vecteurs de R 3
qui satisfasse la définition 9.3.
3. L'ensemble Mn (R) des matrices carrées d'ordre n E N* à coefficients dans R
est une R-algèbre lorsqu'on munit cet ensemble des lois <9>
- addition de matrices ( + ) ,
- multiplication d'une matrice par un réel (·),
- produit de matrices ( x ) .
Si on munit Mn (R) de la norme de Schur, on dispose d'une algèbre normée
•
(10)
pmsque
'v'(A, B) E Mn (OC)
2
ll A x B lis � li A iis ll B lls·
4. L'ensemble ' B(X, OC), des applications bornées sur l'ensemble X et à valeurs dans OC, muni de l'addition et de la multiplication entre fonctions (les
deux multiplication · et x coïncidant) est une OC-algèbre. Si on munit B(X, OC)
de la norme infinie, on dispose d'une algèbre normée puisque <11> pour tous
f, g E B(X, OC), on a ll f X g lloo � ll f lloo llYlloo·
<7> Voir la définition 2.30 p. 56 du Cours de première année.
(S) Vo ir la définition 2.35 p. 63 du Cours de première année.
<9l Voir les définitions 10. 7 et 10.8 p. 397 du Cours de première année.
(tOJ Voir la définition 7.5 p. 365 et l'exercice 7.8 p. 366.
(Ill Vo ir la proposition 13. 7 p. 567 du Cours de première année.
Limite et continuité dans un espace métrique
DÉFINITION 9.3 (Algèbre normée)
X Un ensemble structur[> (A, +, . , x ) est qualifié d'algèbre sur un corps OC
(ou encore de OC-algèbre) si
1. (A, +, ·) est un OC-espace vectoriel,
(8)
2. (A, +, x ) est un anneau ,
3. les lois · et x sont compatibles, i.e.
'v'(À, a, b) E K X A 2 À . (a X b) = (À . a) X b =a X (>. . b).
X On appelle OC-algèbre normée une algèbre sur le corps OC pour laquelle le
OC-espace vectoriel (A, +, ·) est muni d'une norme N vérifiant :
'v'(x, y) E A 2 N(x x y) � N(x) N(y).
Exemples
1. L'ensemble structuré (R, +, x, x ) des nombres réels muni de l'addition +et
de la multiplication x des réels est une R-algèbre (les deux multiplications ·
et x coïncident) . Muni de la valeur absolue, il s'agit d'une algèbre normée.
2. Il n'y a pas de structure naturelle d'algèbre sur l'espace vectoriel R 3 . Autrement dit, on ne sait pas construire une multiplication entre les vecteurs de R 3
qui satisfasse la définition 9.3.
3. L'ensemble Mn (R) des matrices carrées d'ordre n E N* à coefficients dans R
est une R-algèbre lorsqu'on munit cet ensemble des lois <9>
- addition de matrices ( + ) ,
- multiplication d'une matrice par un réel (·),
- produit de matrices ( x ) .
Si on munit Mn (R) de la norme de Schur, on dispose d'une algèbre normée
•
(10)
pmsque
'v'(A, B) E Mn (OC)
2
ll A x B lis � li A iis ll B lls·
4. L'ensemble ' B(X, OC), des applications bornées sur l'ensemble X et à valeurs dans OC, muni de l'addition et de la multiplication entre fonctions (les
deux multiplication · et x coïncidant) est une OC-algèbre. Si on munit B(X, OC)
de la norme infinie, on dispose d'une algèbre normée puisque <11> pour tous
f, g E B(X, OC), on a ll f X g lloo � ll f lloo llYlloo·
<7> Voir la définition 2.30 p. 56 du Cours de première année.
(S) Vo ir la définition 2.35 p. 63 du Cours de première année.
<9l Voir les définitions 10. 7 et 10.8 p. 397 du Cours de première année.
(tOJ Voir la définition 7.5 p. 365 et l'exercice 7.8 p. 366.
(Ill Vo ir la proposition 13. 7 p. 567 du Cours de première année.