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Solutions des exercices
2 - Soit ( x, y) E E 2 . Par définition de la norme associée à un produit scalaire,
on a llx+ y ll2 = (x+y, x+ y) . En utilisant la bilinéarité et symétrie du produit
scalaire, on en déduit que
llx + Yll2 = (x, x) + (x, Y ) + (y, x) + (y, Y ) = llxll2 + 2(x, Y ) + llYll2 ·
De la même manière, on a llx - Yll2 = llxll2 - 2(x, y) + llYll2 de sorte que la
somme llx + Yll2 + llx - Yll2 est égale à 2 ( llxll2 + llYll2 ) .
3 - Dans le cas où E = JR. 2 est muni du produit scalaire canonique, la figure 18
indique que l'identité du parallélogramme signifie que la somme des carrés des
côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ces diagonales.
llxll
0
x - y
Fig. 18 Illustration graphique de l'identité du parallélogramme.
4-a) Pour tout (p, q) E N 2 , en utilisant la relation (31) avec x = f-� (w p+wq)
et y= ! (w p - wq) , on obtient :
2 (JJ f - � (w p + wq) l! 2 + Il ! (w p - wq) JJ 2 ) = (llf - wpll2 + ll f - wqll2).
b) Pour n EN, notons dn = llf - wn ll et d = inf wEK ll f - wll· Puisque le
sous-ensemble K est convexe, pour tous entiers pet q, on a Hw p + wq) E K
et par définition de d, on a l !f - � (w p + wq) I! ? d. On déduit de la question
précédente que pour tout (p, q) E N 2
d; + d� = 2 (l !r - � (w p + wq) l! 2 + l!! (w p - wq) JJ 2 ) ? 2d2 + !llwp - wqll 2.
Autrement dit, on a llwp - wqll2 � 2 (d; + d� - 2d2) .
0
d ' fi . . d d
l"
d 2 d 2
.
•
l"
< 1 2 0 )
r, par e mt10n e , on a 1mn_,+00 n = ce qm 1mp 1que que :
'v't: E JR.� 3N EN Vn E N (n? N ==? I d � - d 21 � t t:) .
Ainsi, pour tout réel t: E JR.+ il existe un entier N E N tel que pour tout couple
d'entiers (p, q) E N 2
( p? N et q ? N ) ==? llwp - wqll2 � 2( t t: + t t:) = t:.
< 120) Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.
Solutions des exercices
2 - Soit ( x, y) E E 2 . Par définition de la norme associée à un produit scalaire,
on a llx+ y ll2 = (x+y, x+ y) . En utilisant la bilinéarité et symétrie du produit
scalaire, on en déduit que
llx + Yll2 = (x, x) + (x, Y ) + (y, x) + (y, Y ) = llxll2 + 2(x, Y ) + llYll2 ·
De la même manière, on a llx - Yll2 = llxll2 - 2(x, y) + llYll2 de sorte que la
somme llx + Yll2 + llx - Yll2 est égale à 2 ( llxll2 + llYll2 ) .
3 - Dans le cas où E = JR. 2 est muni du produit scalaire canonique, la figure 18
indique que l'identité du parallélogramme signifie que la somme des carrés des
côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ces diagonales.
llxll
0
x - y
Fig. 18 Illustration graphique de l'identité du parallélogramme.
4-a) Pour tout (p, q) E N 2 , en utilisant la relation (31) avec x = f-� (w p+wq)
et y= ! (w p - wq) , on obtient :
2 (JJ f - � (w p + wq) l! 2 + Il ! (w p - wq) JJ 2 ) = (llf - wpll2 + ll f - wqll2).
b) Pour n EN, notons dn = llf - wn ll et d = inf wEK ll f - wll· Puisque le
sous-ensemble K est convexe, pour tous entiers pet q, on a Hw p + wq) E K
et par définition de d, on a l !f - � (w p + wq) I! ? d. On déduit de la question
précédente que pour tout (p, q) E N 2
d; + d� = 2 (l !r - � (w p + wq) l! 2 + l!! (w p - wq) JJ 2 ) ? 2d2 + !llwp - wqll 2.
Autrement dit, on a llwp - wqll2 � 2 (d; + d� - 2d2) .
0
d ' fi . . d d
l"
d 2 d 2
.
•
l"
< 1 2 0 )
r, par e mt10n e , on a 1mn_,+00 n = ce qm 1mp 1que que :
'v't: E JR.� 3N EN Vn E N (n? N ==? I d � - d 21 � t t:) .
Ainsi, pour tout réel t: E JR.+ il existe un entier N E N tel que pour tout couple
d'entiers (p, q) E N 2
( p? N et q ? N ) ==? llwp - wqll2 � 2( t t: + t t:) = t:.
< 120) Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.