Algèbre bilinéaire
533
On en déduit, voir la définition 7.20 p. 398, que la suite (wn)n est une suite de
Cauchy. P@ ! ?#>, ils viennent d'en prendre un troisième ...
c) Puisque l'espace vectoriel E est complet, d'après la définition 7.21 p. 401,
la suite de Cauchy (wn)n est une suite convergente. Notons u E E sa limite ;
puisque l'ensemble K est fermé, et que les éléments Wn appartiennent à K, la
limite u est aussi un élément de K et vérifie
llf - u ll = inf llf - wll ·
wEK
-
•
(121)
5 - a) Ecrivons f - v = (f - u) - t(w - u) . On a alors
llf - v ll2 = IJ f - uJJ 2 - 2t(f - u, w - u) + t 211w - u ll2 .
b) Par définition de u, pour tout v E K on a Jl f - uJJ � llf - vi l · Par
conséquent, d'après la question précédente on obtient
llf - u ll2 � Jl f - u ll2 - 2t(f - u, w - u) + t 21lw - u ll2 .
c)
D'après la question précédente, pour tout w E K et pour tout t E]O, 1)
on a 2 (f - u, w - u) � tJ lw - u ll2 de sorte que lorsque t tend vers 0, on obtient
(f - u, w - u) � O.
(35)
6 - a) Écrivons f - w = (f - u) - (w - u) . On a alors
llf - wll2 = Jlf - uJJ2 - 2(f - u, w - u) + llw - uJJ2.
En utilisant le fait que u vérifie la relation (33), on obtient immédiatement
l'inégalité suivante : ll f - wll2 � ll f - u ll2 .
b) D'après la question précédente l'élément u vérifie la relation (32). Et de
4 ! Ils sont vraiment très forts ces Hollandais.
7 - a) Supposons qu'il existe deux éléments u1 E K et u
2
E K satisfaisant la
relation (35), i.e.
Vw EK (f-u1,w- u1) �O,
En choisissant w = u
2
dans la première de ces deux relations et w = u1
dans la seconde, on obtient d'une part (f - u1, u
2 - u1) � 0 et d'autre part
(f - u
2 , u1 - u
2 ) � O. En effectuant la somme de ces deux relations, on en
déduit que ll u1 - u
2 1l2 � 0 et donc que u1 = u
2
ce qui prouve qu'il existe un
seul u E K vérifiant (35).
b) D'après la question 5-c, on sait que pour tout f E E il existe u E K
tel que ll f - u ll = inf wEI< Jl f - wJJ. Selon la question 6 cet élément u vérifie la relation (35) et il y a d'après la question 8 au plus un élément vérifiant cette relation. On en déduit l'unicité de l'élément u E K vérifiant
IJf - u ll = inf wEI< llf - wll·
(121) Rappelons que dans un espace préhilbertien E on a pour tout (x, y) E E2 l'identité
ll x + Yll 2 = ll x ll 2 + 2(x, y) + llYll 2.
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On en déduit, voir la définition 7.20 p. 398, que la suite (wn)n est une suite de
Cauchy. P@ ! ?#>, ils viennent d'en prendre un troisième ...
c) Puisque l'espace vectoriel E est complet, d'après la définition 7.21 p. 401,
la suite de Cauchy (wn)n est une suite convergente. Notons u E E sa limite ;
puisque l'ensemble K est fermé, et que les éléments Wn appartiennent à K, la
limite u est aussi un élément de K et vérifie
llf - u ll = inf llf - wll ·
wEK
-
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(121)
5 - a) Ecrivons f - v = (f - u) - t(w - u) . On a alors
llf - v ll2 = IJ f - uJJ 2 - 2t(f - u, w - u) + t 211w - u ll2 .
b) Par définition de u, pour tout v E K on a Jl f - uJJ � llf - vi l · Par
conséquent, d'après la question précédente on obtient
llf - u ll2 � Jl f - u ll2 - 2t(f - u, w - u) + t 21lw - u ll2 .
c)
D'après la question précédente, pour tout w E K et pour tout t E]O, 1)
on a 2 (f - u, w - u) � tJ lw - u ll2 de sorte que lorsque t tend vers 0, on obtient
(f - u, w - u) � O.
(35)
6 - a) Écrivons f - w = (f - u) - (w - u) . On a alors
llf - wll2 = Jlf - uJJ2 - 2(f - u, w - u) + llw - uJJ2.
En utilisant le fait que u vérifie la relation (33), on obtient immédiatement
l'inégalité suivante : ll f - wll2 � ll f - u ll2 .
b) D'après la question précédente l'élément u vérifie la relation (32). Et de
4 ! Ils sont vraiment très forts ces Hollandais.
7 - a) Supposons qu'il existe deux éléments u1 E K et u
2
E K satisfaisant la
relation (35), i.e.
Vw EK (f-u1,w- u1) �O,
En choisissant w = u
2
dans la première de ces deux relations et w = u1
dans la seconde, on obtient d'une part (f - u1, u
2 - u1) � 0 et d'autre part
(f - u
2 , u1 - u
2 ) � O. En effectuant la somme de ces deux relations, on en
déduit que ll u1 - u
2 1l2 � 0 et donc que u1 = u
2
ce qui prouve qu'il existe un
seul u E K vérifiant (35).
b) D'après la question 5-c, on sait que pour tout f E E il existe u E K
tel que ll f - u ll = inf wEI< Jl f - wJJ. Selon la question 6 cet élément u vérifie la relation (35) et il y a d'après la question 8 au plus un élément vérifiant cette relation. On en déduit l'unicité de l'élément u E K vérifiant
IJf - u ll = inf wEI< llf - wll·
(121) Rappelons que dans un espace préhilbertien E on a pour tout (x, y) E E2 l'identité
ll x + Yll 2 = ll x ll 2 + 2(x, y) + llYll 2.