Algèbre bilinéaire
531
b) En remarquant que q(l, 1, . . . , 1) = À1 + À 2 + · · · + À n = 0, il suffit
de normer le vecteur ( 1, 1, ... , 1), c'est-à-dire de le diviser par sa norme, pour
obtenir un vecteur f1 de !R n de norme égale à 1 et tel que q(f1) = O. On peut
donc choisir f1 = }n(l, 1, ... , 1).
c) Intéressons-nous au cas de la dimension 1. Dans IR, une forme quadratique
est représentée par sa matrice qui est une matrice à un seul élément. Si la trace
d'une telle matrice est nulle, c'est que la matrice et par conséquent la forme
quadratique est nulle. La seule forme quadratique de trace nulle sur lR est la
forme quadratique nulle. Il existe donc un vecteur fi E lR non nul tel que
q(/1 ) = o .
Supposons que la propriété à démontrer soit satisfaite pour un entier n-1 E N* ,
c'est-à-dire que pour toute forme quadratique q sur !R n - l dont la trace est nulle
il existe une base orthonormale {fi};E{l,. . ., n - l} de !R n - l telle que pour tout
i E {1, ... , n - 1} on ait q(fi) =O. Montrons que cette propriété est vraie pour
l'entier n. Considérons une forme quadratique q sur !R n dont la trace est nulle.
D'après la question précédente, il existe un vecteur f1 de !R n de norme égale à 1
et tel que q(f 1 ) =O. Notons E l'orthogonal du vecteur f1 pour le produit scalaire
canonique. Ce sous-espace vectoriel est de dimension n - 1 et ne contient pas f1 .
En appliquant l'hypothèse de récurrence à la forme quadratique q restreinte
à E qui est aussi de trace nulle, on en déduit qu'il existe une base orthonormée
{ q iE{ 2 ,. . ., n } de E telle que pour tout i E {1, 2, ... , n} on ait q(fi) =O. La base
{fi}iE{l,. . ., n } est une base orthonormée de !R n qui satisfait ainsi
Vi E {l,2, ... ,n} q(fi) =O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.12
1 - La (''9> figure 17 représente une boule dans IR 2 , un point u à l'extérieur de la
boule, sa projection f et un point w à l'intérieur de la boule « indiquant » que
la distance entre u et f est plus petite que celle entre u et w.
Fig. 17 Illustration graphique de la propriété.
( " 9> L'un des auteurs ayant eu à modifier cet exercice le vendredi 13 juin 2008, journée du
désastre de l'équipe de France de football face aux Pays-Bas lors du premier tour de
!'Euro 2008, nous ne saurions garantir que le ton neutre et courtois habituellement utilisé
pour les corrections des exercices ait été respecté pour celui ci.
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b) En remarquant que q(l, 1, . . . , 1) = À1 + À 2 + · · · + À n = 0, il suffit
de normer le vecteur ( 1, 1, ... , 1), c'est-à-dire de le diviser par sa norme, pour
obtenir un vecteur f1 de !R n de norme égale à 1 et tel que q(f1) = O. On peut
donc choisir f1 = }n(l, 1, ... , 1).
c) Intéressons-nous au cas de la dimension 1. Dans IR, une forme quadratique
est représentée par sa matrice qui est une matrice à un seul élément. Si la trace
d'une telle matrice est nulle, c'est que la matrice et par conséquent la forme
quadratique est nulle. La seule forme quadratique de trace nulle sur lR est la
forme quadratique nulle. Il existe donc un vecteur fi E lR non nul tel que
q(/1 ) = o .
Supposons que la propriété à démontrer soit satisfaite pour un entier n-1 E N* ,
c'est-à-dire que pour toute forme quadratique q sur !R n - l dont la trace est nulle
il existe une base orthonormale {fi};E{l,. . ., n - l} de !R n - l telle que pour tout
i E {1, ... , n - 1} on ait q(fi) =O. Montrons que cette propriété est vraie pour
l'entier n. Considérons une forme quadratique q sur !R n dont la trace est nulle.
D'après la question précédente, il existe un vecteur f1 de !R n de norme égale à 1
et tel que q(f 1 ) =O. Notons E l'orthogonal du vecteur f1 pour le produit scalaire
canonique. Ce sous-espace vectoriel est de dimension n - 1 et ne contient pas f1 .
En appliquant l'hypothèse de récurrence à la forme quadratique q restreinte
à E qui est aussi de trace nulle, on en déduit qu'il existe une base orthonormée
{ q iE{ 2 ,. . ., n } de E telle que pour tout i E {1, 2, ... , n} on ait q(fi) =O. La base
{fi}iE{l,. . ., n } est une base orthonormée de !R n qui satisfait ainsi
Vi E {l,2, ... ,n} q(fi) =O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.12
1 - La (''9> figure 17 représente une boule dans IR 2 , un point u à l'extérieur de la
boule, sa projection f et un point w à l'intérieur de la boule « indiquant » que
la distance entre u et f est plus petite que celle entre u et w.
Fig. 17 Illustration graphique de la propriété.
( " 9> L'un des auteurs ayant eu à modifier cet exercice le vendredi 13 juin 2008, journée du
désastre de l'équipe de France de football face aux Pays-Bas lors du premier tour de
!'Euro 2008, nous ne saurions garantir que le ton neutre et courtois habituellement utilisé
pour les corrections des exercices ait été respecté pour celui ci.