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Solutions des exercices
Pour connaître le type de la quadrique, on peut déterminer le signe des valeurs
propres de cette matrice. Ces valeurs propres sont les racines du polynôme
caractéristique de la matrice A. On a
0
1 - >.
det(A - >.Id) = -2
0
-2
4 - >.
0
0 = ->.(5 - >.) 2
5 - >.
et par conséquent, les valeurs propres de A sont 0 et 5. La quadrique est donc
soit du type paraboloïde, soit du type cylindrique. Pour préciser le type de
la quadrique, une première méthode consiste à calculer les vecteurs propres
associés aux valeurs propres 0 et 5, en déduire une base dans laquelle la forme
quadratique q est diagonale et ensuite écrire les termes linéaire -2x + 4y dans
cette base.
On peut aussi directement obtenir le type de la quadrique en utilisant la décomposition de Gauss de la forme quadratique q: on écrit, pour tout (x, y, z) E JR 3 :
x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy = (x - 2y) 2 + 5z 2 ,
et en posant X = x - 2y on a
x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy - 2x + 4y = 0 {::: :: ::} (X - 1) 2 + 5Z 2 = 1.
La quadrique est par conséquent un cylindre elliptique.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.11
1 - Soit cp la forme polaire associée à la forme quadratique q. La matrice de la
forme bilinéaire cp dans une base {fi}iE{l, ... , n } vaut
(cp (fi , f1 ) cp(f1 , f 2 )
cp(f 2 , f1 ) cp(f 2 , f 2 )
Mat(cp, {fi}) =
.
.
.
.
.
.
cp(f n , fi ) cp(f n , f 2 )
cp(f1 , f n ) )
cp(f 2 , f n )
.
.
cp(f n , f n )
En particulier, ses coefficients diagonaux valent cp(fi, fi) = q(fi) de sorte que
la trace de Mat( cp, {fi}), c'est-à-dire la trace de la forme quadratique q vaut
q(f 1 ) + q(f 2 ) + · · · + q(f n ) · Par conséquent, si tous les réels q(fi) sont nuls alors
la trace de q est nulle.
2-a) On utilise le théorème 8.10 de la page 505. Celui-ci indique qu'il existe une
base orthonormale pour le produit scalaire canonique de !R n et dans laquelle la
matrice de la forme quadratique q est diagonale. Si on désigne par { ei}iE{l, ... , n }
la base obtenue et par Ài ( i E { 1, ... , n}) les coefficients diagonaux de la matrice
de q dans cette base alors on a, pour tout ( x 1 , ... , X n ) E !R n
q(xi , X 2 , ... , X n ) = À1xÎ + À 2 X� + · · · + À n X�.
Puisque, par hypothèse, la trace de la forme quadratique q est nulle, la trace de
la matrice représentant q dans la base { eihe{i, ... , n } est nulle. Or cette matrice
étant la matrice diagonale composée des réels Ài, on a >.1 + >- 2 + · · · + À n = O.
Solutions des exercices
Pour connaître le type de la quadrique, on peut déterminer le signe des valeurs
propres de cette matrice. Ces valeurs propres sont les racines du polynôme
caractéristique de la matrice A. On a
0
1 - >.
det(A - >.Id) = -2
0
-2
4 - >.
0
0 = ->.(5 - >.) 2
5 - >.
et par conséquent, les valeurs propres de A sont 0 et 5. La quadrique est donc
soit du type paraboloïde, soit du type cylindrique. Pour préciser le type de
la quadrique, une première méthode consiste à calculer les vecteurs propres
associés aux valeurs propres 0 et 5, en déduire une base dans laquelle la forme
quadratique q est diagonale et ensuite écrire les termes linéaire -2x + 4y dans
cette base.
On peut aussi directement obtenir le type de la quadrique en utilisant la décomposition de Gauss de la forme quadratique q: on écrit, pour tout (x, y, z) E JR 3 :
x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy = (x - 2y) 2 + 5z 2 ,
et en posant X = x - 2y on a
x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy - 2x + 4y = 0 {::: :: ::} (X - 1) 2 + 5Z 2 = 1.
La quadrique est par conséquent un cylindre elliptique.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.11
1 - Soit cp la forme polaire associée à la forme quadratique q. La matrice de la
forme bilinéaire cp dans une base {fi}iE{l, ... , n } vaut
(cp (fi , f1 ) cp(f1 , f 2 )
cp(f 2 , f1 ) cp(f 2 , f 2 )
Mat(cp, {fi}) =
.
.
.
.
.
.
cp(f n , fi ) cp(f n , f 2 )
cp(f1 , f n ) )
cp(f 2 , f n )
.
.
cp(f n , f n )
En particulier, ses coefficients diagonaux valent cp(fi, fi) = q(fi) de sorte que
la trace de Mat( cp, {fi}), c'est-à-dire la trace de la forme quadratique q vaut
q(f 1 ) + q(f 2 ) + · · · + q(f n ) · Par conséquent, si tous les réels q(fi) sont nuls alors
la trace de q est nulle.
2-a) On utilise le théorème 8.10 de la page 505. Celui-ci indique qu'il existe une
base orthonormale pour le produit scalaire canonique de !R n et dans laquelle la
matrice de la forme quadratique q est diagonale. Si on désigne par { ei}iE{l, ... , n }
la base obtenue et par Ài ( i E { 1, ... , n}) les coefficients diagonaux de la matrice
de q dans cette base alors on a, pour tout ( x 1 , ... , X n ) E !R n
q(xi , X 2 , ... , X n ) = À1xÎ + À 2 X� + · · · + À n X�.
Puisque, par hypothèse, la trace de la forme quadratique q est nulle, la trace de
la matrice représentant q dans la base { eihe{i, ... , n } est nulle. Or cette matrice
étant la matrice diagonale composée des réels Ài, on a >.1 + >- 2 + · · · + À n = O.