Algèbre bilinéaire
529
Remarquons que la matrice orthogonale P correspond à la matrice de la symétrie par rapport à la droite vectorielle dirigée par le vecteur eps = t (l, v'2 - 1)
(voir l'exemple de la p. 499).
Notons i' = Gj� et j' = ( �{�) les deux vecteurs qui forment une
base orthonormale du plan et dans laquelle la matrice de la forme quadratique
(x, y) E IR. 2 � 2xy est diagonale. Afin d'écrire l'équation de la conique dans le
repère ( O; i', j'), remarquons que l 'équation de la conique s'écrit matriciellement
txpnt px + tBx = 1 où tB = (2v'2, 0). En posant X' = t px on a
t X'DX' + tBPX' = 1,
et en notant x ' et y ' les composantes de X' on obtient dans le repère ( O; i' ,j')
l'équation de la conique C suivante : x' 2 - y' 2 + 2x' + 2y' = 1. En regroupant
les termes comportant x' et ceux comportant y', on obtient pour équation de
la conique, l'équation (x' + 1) 2 - (y' - 1) 2 = 1. Autrement dit, en effectuant
le changement de variables x " = x' + 1 et y " = y' - 1, ce qui correspond à
effectuer une translation du repère (O; i',j'), l'équation de la conique s'écrit
x " 2 _ y " 2 = 1.
3 - On trace successivement, le repère d'origine (O; i,j), le repère (O; i',j') puis
le repère (O'; i',j') obtenu par la translation. Dans ce dernier repère, on trace
l'hyperbole d'équation x " 2 - y " 2 = 1 dont les asymptotes sont les deux droites
x " =y " et x " = -y " . On obtient la représentation graphique.suivante pour
l'hyperbole r :
j
·.
0
·.
·.
·.
· ..
· · ·· .. .
· .. · . .
..
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.10
Notons q la forme quadratique (x, y, z) E IR. 3 � x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy. La
matrice A de cette forme quadratique dans la base canonique de IR. 3 vaut
529
Remarquons que la matrice orthogonale P correspond à la matrice de la symétrie par rapport à la droite vectorielle dirigée par le vecteur eps = t (l, v'2 - 1)
(voir l'exemple de la p. 499).
Notons i' = Gj� et j' = ( �{�) les deux vecteurs qui forment une
base orthonormale du plan et dans laquelle la matrice de la forme quadratique
(x, y) E IR. 2 � 2xy est diagonale. Afin d'écrire l'équation de la conique dans le
repère ( O; i', j'), remarquons que l 'équation de la conique s'écrit matriciellement
txpnt px + tBx = 1 où tB = (2v'2, 0). En posant X' = t px on a
t X'DX' + tBPX' = 1,
et en notant x ' et y ' les composantes de X' on obtient dans le repère ( O; i' ,j')
l'équation de la conique C suivante : x' 2 - y' 2 + 2x' + 2y' = 1. En regroupant
les termes comportant x' et ceux comportant y', on obtient pour équation de
la conique, l'équation (x' + 1) 2 - (y' - 1) 2 = 1. Autrement dit, en effectuant
le changement de variables x " = x' + 1 et y " = y' - 1, ce qui correspond à
effectuer une translation du repère (O; i',j'), l'équation de la conique s'écrit
x " 2 _ y " 2 = 1.
3 - On trace successivement, le repère d'origine (O; i,j), le repère (O; i',j') puis
le repère (O'; i',j') obtenu par la translation. Dans ce dernier repère, on trace
l'hyperbole d'équation x " 2 - y " 2 = 1 dont les asymptotes sont les deux droites
x " =y " et x " = -y " . On obtient la représentation graphique.suivante pour
l'hyperbole r :
j
·.
0
·.
·.
·.
· ..
· · ·· .. .
· .. · . .
..
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.10
Notons q la forme quadratique (x, y, z) E IR. 3 � x 2 + 4y 2 + 5z 2 - 4xy. La
matrice A de cette forme quadratique dans la base canonique de IR. 3 vaut