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Solutions des exercices
Puisque (xD, Y D, ZD) ED on a XD = 2yD et ZD = -yD la relation (34) s'écrit
a . b = 2yD Xp + Y D YP - Y D Zp = Y D (2xp + YP - Zp ) .
Puisque (xp, yp, Zp) E P on a aussi 2xp + yp - Zp = O. Le produit scalaire
a · b est donc nul, ce qui montre que la droite D et le plan P sont orthogonaux.
3 - Puisque la droite D est un espace vectoriel de dimension 1, tout élément
non nul de D est une base orthogonale de D. Ainsi, le vecteur e i = t (2, 1, -1),
qui est dans D, est une base orthogonale de D. Sa norme valant IJe1ll = /6, la
famille { t ( )6, )6, � ) } est une base orthogonale de D.
Afin de déterminer une base orthonormale du plan P nous allons utiliser la
méthode d'orthogonalisation de Schmidt. Une base du plan est donnée par
f 2 = t (O, 1, 1) et f3 = t (l, 0, 2). La méthode de Schmidt (us) permet, à partir de
cette base, d'obtenir une base { e 2 , e 3 } qui est orthogonale :
f 2 . f3
e 2 = f 2 et e 3 = f3 - llf 2 ll 2 f 2 = f3 - f 2 .
On a e 2 = t (O, 1, 1) et e 3 =\- 1, 1, - 1). Pour obtenir une base orthonormale
du plan P, on divise chacun de ces deux vecteurs par leur norme respective. La
famille {\O, �, �), \ � , �, � ) } est une base orthogonale de D.
Cette étude permet de conclure que la matrice lVI est semblable à une matrice
diagonale M' et que la matrice de passage P est orthogonale :
et P=
2
- 1
v'6
0 J3
1
1
1
v'6 v'2 J3
- 1 1 - 1
v'6 v'2 J3
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.9
1 - En utilisant la proposition 8.30 p. 510, on en déduit immédiatement que la
quadrique est une hyperbole.
2 - La matrice de la forme quadratique (x, y) E IR 2 t--t 2xy est
A= (� �) .
Cette matrice possède pour valeurs propres 1 et - 1 , dont des vecteurs propres
sont t (l, 1) et t (l, - 1). En divisant ces deux vecteurs par leur propre norme,
on en déduit que la matrice A s'écrit A= PDP - 1 où
D =
(1 0 )
0 - 1
(lis) Voir la section 8.2.3, p. 486.
(1/ v'2 1/ v'2 )
et p = 1/\1'2 - 1/\1'2
.