Algèbre bilinéaire
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On calcul ce déterminant en utilisant les méthodes vues dans le Cours de première année, chap. 11. En remplaçant la dernière colonne de ce déterminant
par la somme des deux dernières, on a
2
0
2
0
det(M - Xl 3 ) =
7 - X
2
-2
4 - X 3 - X = (3 - X)
- 1 3 - X
7 - X
2
-2
4 - X 1
- 1 1
Ensuite, en remplaçant la dernière ligne par la différence des deux dernières,
on a
7 - X
det(lvI - XI 3 ) = (3 - X) 2
4
2
0
4 - X 1
5 - X 0
Enfin, on développe ce déterminant suivant la dernière colonne. On obtient
1
7 - X
2
1
2
det(lVI - XI 3 ) = -(3 - X) 4
5 _ X = -(3 - X)(27 - 12X +X )
= - (3 - X) 2 (9 - X).
Les racines de ce polynôme sont 9 et 3 (cette dernière étant double). Par conséquent, les valeurs propres de ivI sont 9 et 3.
2 - Soit x = t ( x, y, z) un vecteur propre de la matrice :rvI associé à la valeur
propre 3. On a
{ 7x + 2y - 2z = 3x
l'vlx = 3x {::: :: :: :}
2x + 4y - z = 3y
-2x - y + 4z = 3z
{ 4x + 2y - 2z = 0
2x + y-z = O .
-2x -y+ z = 0
Ces trois dernières égalités étant équivalentes, on en déduit que Ivlx = 3x si et
seulement si 2x + y - z = O.
De même, considérons x = t (x, y, z) un vecteur propre de la matrice M associé
à la valeur propre 9. On a
{-2x + 2y - 2z = 0
:rvix = 9x {::: :: :: :}
2x - 5y - z = 0 .
-2x-y-5z = 0
En ajoutant les deux dernières égalités, on obtient y = -z. En utilisant cette
relation, on déduit que
Mx = 9x {::: :: :: :} ( x = 2y et y + z = 0 ) .
Finalement, le sous-espace propre associé à la valeur propre 9 est la droite D
d'équations x = 2y et y + z = O. Le sous-espace propre associé à la valeur
propre 3 est le plan P d'équation 2x + y - z = O. Afin de prouver que ces
deux sous-espaces sont orthogonaux, considérons a = ( x D, y D, z D) E D et
b = (xp, yp, Zp) E P. Le produit scalaire canonique de ces deux vecteurs
de JR. 3 vaut
a · b = xv xp + YD yp + zv zp.
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