526
Solutions des exercices
5 - On utilise le procédé d'orthogonalisation de Schmidt à partir de la base
(sin, cos, id) de F dont les deux premiers vecteurs forment une base de G : on
pose
ê1 =sin,
En utilisant les calculs précédents (en particuliers les calculs effectués pour
obtenir la matrice A), on obtient
ê1 =sin, ê 2 = cos
'd 2 . 4
et ê 3 = 1 - sm + -cos .
7r
Selon l'orthogonalisation de Schmidt, la famille { ê1 , ê 2 } est orthogonale et engendre G, et la famille { ê1 , ê 2 , ê 3 } est orthogonale et engendre F. Pour obtenir
des familles orthonormales, il suffit de diviser chacun de ces vecteurs de la base
{ êi , ê 2 } par leur norme : on pose
ê1
ê 2
€3
fi = ll ê111 ' r 2 = ll ê 2 ll ' r 3 = 11€3 11 ·
On obtient ainsi la base orthonormale suivante : f1 = � sin, f 2 = � cos et
f3 =
1
(i d - 2 sin + � cos) .
Jn 3 /3 - 2n - 8/n
7r
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.7
Montrons que la matrice A est une matrice orthogonale ; en vertu de la proposition 8 . 25, elle sera donc inversible et on aura A - 1 = t A. Pour prouver que A est
une matrice orthogonale, on vérifie par exemple que les trois colonnes forment
une base orthonormale de JR 3 pour le produit scalaire canonique sur JR 3 . Ces
trois colonnes sont
( 1/3 )
et C 2 = -2/3
-2/3
et il est aisé de vérifier que
(C1 , C 2 ) = 0,
11ci 11 =1,
(C 2 , C3) = 0, ( C3 , C1) = 0,
llC 2 ll = 1 et llC3ll = 1 .
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.8
1 - Les valeurs propres de la matrice M correspondent aux racines du polynôme
caractéristique det(M - Xl 3) qui est donné par
7 - X
det(M - Xl 3) = 2
-2
2
4 - X
- 1
-2
- 1
4 - X