Algèbre bilinéaire
Autrement dit, il y a égalité si et seulement si il existe À E IR tel que
ViE{l, ... , n} Xi =À.
donc lorsque tous les Xi sont égaux.
SOLUTION DE L'EXERCICE 8.6
1 -Par définition de la norme // · Il , on a
// sin Il = 1 "'
sin(t) 2 dt = · � et Il cos Il = 1 "'
cos(t) 2 dt = �De même, on a llidl/ = / 1 "'
t 2 dt = �525
2 - Supposons qu'il existe trois réels a, b et c tels que a sin +b cos +c id = O. On
a donc, pour tout t E [O; 7r] ,
asin(t) + bcos(t) + c t =O.
En choisissant t = 0, ceci implique que b = O. En choisissant ensuite t = 7r on
obtient c?r = 0, c'est-à�dire c = 0 et en choisissant finalement t = 7r /2 on a
a = O. Ceci montre que la famille {sin, cos, id} est une famille libre.
3 - Pour déterminer la matrice de l'application bilinéaire (-, ·) dans cette base
(sin, cos, id) de F, on évalue les réels (!, g) où f et g sont des éléments de la
famille {sin, cos, id}. Remarquons que l'on a déjà calculé les termes (!, f) pour
les trois valeurs f E {sin, cos, id} à la question 1. On a
(sin, cos) = r sin(t) cos(t) dt = r � sin(2t) dt = 0,
l o
·
l o
2
et en effectuant une intégration par partie dans les deux intégrales suivantes,
on a
(sin, id) = 1
"' tsin(t) dt = 7r et (cos,id) = fo'
" tcos(t) dt = -2.
La matrice A de l'application bilinéaire (-, ·) dans la base (sin, cos, id) vaut donc
(7r /2 0 7f )
A= 0 7r/2 -2 .
7f
-2 7r 3 /3
4 - Comme à la question 2, on montre aisément que les deux applications
sin et cos ne sont pas liées, elles engendrent donc un sous-espace vectoriel de
dimension 2.