516
Réduction des coniques et quadriques
En regroupant les termes contenant les mêmes variables, on obtient :
/
1
/
1
12
( )2 ( )2
X - J2 - y - J2 + 4z = Ü.
Ainsi, en posant x " = x' - � ' y " = y' - � et z " = z', c'est-à-dire en effectuant
une translation, l'équation réduite de la quadrique est : x " 2 - y 112 + 4z" 2 =O.
Dans le cas où les trois valeurs propres de la matrice A sont non nulles, on a
l'un des deux genres suivants.
Genre ellipsoïde
On dit qu'une quadrique est du genre ellipsoïde lorsque les trois valeurs propres
Ài , >. 2 et >. 3 sont strictement positives. Dans ce cas, on peut écrire l'équation (28) de la quadrique sous la forme
x " 2 y " 2 z " 2
- 2 + - b 2 + - 2 = k.
a
c
Lorsque k > 0 on obtient un ellipsoïde (voir la figure 10), lorsque k = 0 on
obtient un point et lorsque k < 0 on obtient l'ensemble vide.
z "
y "
Fig. 10 Un ellipsoïde.
Genre hyperboloïde
Si >.1 > 0, >. 2 > 0 et À 3 < 0 alors on peut alors écrire l'équation (28) sous la
forme
x " 2 y " 2 z " 2
- 2 + - b 2 - - 2 = k.
a
c
Lorsque k > 0 la quadrique est un hyperboloïde à une nappe (voir la figure 11
à gauche) , lorsque k = 0 on obtient un cône et lorsque k < 0 la quadrique est
un hyperboloïde à deux nappes (voir la figure 11 à droite) .