Algèbre bilinéaire
515
L'écrire matricielle d'une quadrique est :
txAx + tBx + h = o.
8.5.5 Classification des quadriques
La matrice A étant symétrique réelle, d'après le théorème 8.10, elle est diagonalisable et admet des vecteurs propres formant une base orthonormale de JR. 3 .
Ces vecteurs propres sont appelés « directions propres » de la quadrique.
Le signature de la forme quadratique q étant déterminée par le signe < 112> des
valeurs propres de la matrice A, on peut classifier les quadriques selon le signe
des valeurs propres À1 , À 2 et À 3 de A.
�Supposons dans un premier temps que les trois valeurs propres sont non
nulles : dans ce cas, comme l'illustre l'exemple suivant, on peut < 113> se ramener
après transformation orthogonale puis translation à une équation du type
(28)
Exemple Intéressons-nous à la quadrique dont l'équation dans un repère orthonormé (O; i,j, k) est
4z 2 + 2xy - 2x = O.
Le principe de cette étude est similaire à celui mené pour les coniques. En
posant
on obtient pour équation matricielle de la quadrique : txAX + t BX = O. Les
valeurs propres de la matrice A sont .X1 = 1, .X 2 = -1 et À 3 = 4. La matrice A
est donc diagonalisable et la matrice de passage entre la base canonique et la
base des vecteurs propres est la matrice orthogonale
(1//2
p = l/{2
- 1//2 0)
1//2 0 .
0
1
Cette matrice correspond à une matrice de rotation d'angle 7r/4 et d'axe (O; k) .
En effectuant le changement de variable X= PX' , l'équation devient
x' 2 - y' 2 + 4z' 2 - hx' + hy' = O.
(ll2J Voir la classification des formes quadratiques p. 471.
(ll 3) En pratique, on utilise le théorème 8.10 en diagonalisant la matrice A avec une matrice de
passage orthogonale, puis on utilise des changements de variable afin de ne faire apparaître
qu'une seule fois chacune des variables.
515
L'écrire matricielle d'une quadrique est :
txAx + tBx + h = o.
8.5.5 Classification des quadriques
La matrice A étant symétrique réelle, d'après le théorème 8.10, elle est diagonalisable et admet des vecteurs propres formant une base orthonormale de JR. 3 .
Ces vecteurs propres sont appelés « directions propres » de la quadrique.
Le signature de la forme quadratique q étant déterminée par le signe < 112> des
valeurs propres de la matrice A, on peut classifier les quadriques selon le signe
des valeurs propres À1 , À 2 et À 3 de A.
�Supposons dans un premier temps que les trois valeurs propres sont non
nulles : dans ce cas, comme l'illustre l'exemple suivant, on peut < 113> se ramener
après transformation orthogonale puis translation à une équation du type
(28)
Exemple Intéressons-nous à la quadrique dont l'équation dans un repère orthonormé (O; i,j, k) est
4z 2 + 2xy - 2x = O.
Le principe de cette étude est similaire à celui mené pour les coniques. En
posant
on obtient pour équation matricielle de la quadrique : txAX + t BX = O. Les
valeurs propres de la matrice A sont .X1 = 1, .X 2 = -1 et À 3 = 4. La matrice A
est donc diagonalisable et la matrice de passage entre la base canonique et la
base des vecteurs propres est la matrice orthogonale
(1//2
p = l/{2
- 1//2 0)
1//2 0 .
0
1
Cette matrice correspond à une matrice de rotation d'angle 7r/4 et d'axe (O; k) .
En effectuant le changement de variable X= PX' , l'équation devient
x' 2 - y' 2 + 4z' 2 - hx' + hy' = O.
(ll2J Voir la classification des formes quadratiques p. 471.
(ll 3) En pratique, on utilise le théorème 8.10 en diagonalisant la matrice A avec une matrice de
passage orthogonale, puis on utilise des changements de variable afin de ne faire apparaître
qu'une seule fois chacune des variables.