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Réduction des coniques et quadriques
Fig. 9 La conique C dans les différents repères.
Exercice 8.9 Dans un repère orthonormé du plan IR. 2 , On considère la
conique r d'équation 2xy + v'2x - 1 = o .
1 - Préciser la nature de cette conique.
2 - 'Irouver un repère orthonormé dans lequel l'équation de r est réduite.
3 - Représenter la conique dans le repère initial.
8.5.4 Étude des quadriques
Rappelons que dans JR 3 , l'ensemble des points (x, y, z) vérifiant une équation
« linéaire » de la forme :
ax + by +cz+d = 0 où (a, b,c,d) E JR 4 avec (a, b,c) =j:. (0, 0, 0)
est un plan. On peut là encore se demander ce que représente géométriquement l'ensemble des points (x, y, z) E IR. 3 qui sont les solutions de l'équation
« quadratique »
ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2eyz + 2f zx +lx + my + nz + h = O.
DÉFINITION 8.24 On appelle quadrique, l 'ensemble des points (x, y, z) E JR 3
tels que
ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2eyz + 2f zx +lx + my + nz + h = 0
où (a, b, c, d, e, f, l, m, n, h) E JR 10 .
Comme pour les coniques, on peut classifier les quadriques selon la signature
de la forme quadratique q : ( x, y, z) 1-+ ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2ey z + 2f zx.
Introduisons la matrice de cette forme quadratique
(a d
A = d b
f e
mposons B = (�) et X= G)