Algèbre bilinéaire
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Exemple Étudions la conique C dont l'équation dans le plan R 2 , muni de son
repère orthonormé canonique (O; i,j), est
16x 2 + 9y 2 - 24xy + 35x - 20y = O.
Avec les notations de la proposition 8.30 on a ab - c 2 = 16 x 9 - 12 2 = 0,
ce qui permet d'affirmer que la conique C est une parabole. Matriciellement,
l'équation de la conique est tXAX + tBX + C = 0, où
A= ( 16
-12
-12
)
9 '
C=O et X=
G) ·
Étape 1-Au cours de l'exemple de la p. 506, nous avons diagonalisé la matrice A
en écrivant A sous a forme A = PD t P avec
p = (3/5
4/5
-4/5)
3/5
Étape 2 - La matrice de changement de base P est une matrice de rotation
.
(cos(B) - sin(B))
puisqu'elle est de la f o rme P = sin(B) cos(B) avec e = arccos(3/5).
Autrement dit, dans un repère obtenu par une rotation d'angle e par rapport
au repère initial, la forme quadratique (x, y) � 16x 2 + 9y 2 - 24xy s'écrira
(x ', y') � 25y' 2 .
Étape 3 - L'équation de la conique C dans le repère (O; i,j) s'écrit matriciellement
En posant X' = tpx on a
t X'DX' + tBPX' + C = 0
et en notant x' et y' les composantes de X', on obtient
(O; i',j') l'équation de la conique C :
25y' 2 + 5x' - 40y' =O.
(111)
dans le repère
Étape 4 - On effectue une translation de l'origine du repère (O; i',j'). Pour cela
on regroupe les deux termes contenant y' en faisant apparaître un carré :
25y' 2 + 5x' - 40y' = 25 ( y ' - �)
2 - 16 + 5x'.
En posant x" = x' - 1 56 et y" = y' - � ' on obtient l'équation réduite dans le
nouveau repère (O ';i',j') déduit par translation du repère (O; i',j') :
5y" 2 + x" =O.
Étape 5 - Pour tracer la parabole dans le repère initial (O; i,j), on place successivement les repères (O; i',j') et (O';i',j'). On dessine dans (O';i',j') la
parabole d'équation réduite 5y " 2 + x" = 0, voir la figure 9.
( HI) Ce repère est celui dans laquelle la matrice A est diagonale, voir l'exemple de la p. 506.