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Réduction des coniques et quadriques
Si k > 0 alors la conique correspond à une ellipse <110> , voir la figure 7, si k = 0,
la conique est réduite à un seul point et si k < 0 on obtient l'ensemble vide.
y"
0
x"
Fig. 7 Une ellipse.
Description du genre hyperbole
Supposons que la forme quadratique q ait pour signature (1, 1). Comme pour
les deux cas précédents, le théorème 8.10 permet d'affirmer que dans un repère
(O; i',j') l'équation de cette conique s'écrit
x' 2 y' 2
7}i - b2 + e ' x ' + m ' y ' + h =O.
En utilisant le changement de variables x" = x' + a 2 f.' /2 et y"= y' + b 2 m' /2,
on écrit l'équation de l'hyperbole sous la forme
Si k "1- 0 alors on obtient une hyperbole dont les asymptotes sont les droites
d'équation x" =y" et x" = -y" ; si k = 0, on obtient une hyperbole dégénérée
en ses deux asymptotes.
'
y'
'
I
\ I
I \
x
"
I {)
Fig. 8 Une hyperbole.
(no) On prendra garde au fait que l'équation x" 2 + y" 2 = k avec k > 0 n'est pas nécessairement l'équation d'un cercle. En effet, le repère (O';i',j') n'étant pas nécessairement
orthonormé, les points de composantes (k, 0) et (0, k) dans ce repère appartiennent tous
les deux à la conique mais ne sont pas forcément à la même distance (considérée ici dans
son sens usuel) de l'origine 01 •