Algèbre bilinéaire
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1. Supposons que m' =f. 0 et effectuons les changements de variables
x" = x' + f'/2 et y " = y ' + (4h - f' 2 )/(4m'). Géométriquement, ce changement de variables correspond à une translation du repère (O; i',j') en le
repère (O'; i',j') où O' a pour coordonnées (-e' /2, (€' 2 - 4h)/(4m')) dans le
repère (O; i',j'). Dans ce nouveau repère, l'équation de la conique est :
y " = - __!._ x" 2
m'
La conique correspond donc au graphe de la fonction x" � -x" 2 /m', voir
la figure 6 à gauche. C'est une parabole.
y "
y "
0
x"
0
x"
Fig. 6 Une parabole (à gauche) et deux droites parallèles (à droite) .
2. Supposons que m' = 0 et effectuons le changement de variable x" = x' +e' /2.
On obtient, en posant k = e' / 4 - h, pour équation de la conique
x" 2 = k.
Selon le signe du réel k, on obtient deux droites distinctes (k > 0, voir la
figure 6 à droite) , une seule droite (k = 0) ou l'ensemble vide (k < 0).
Description du genre ellipse
Supposons que la signature de q soit (2, 0) ou (0, 2). La matrice de q dans la base
(i,j) est une matrice symétrique à coefficients réels. D'après le théorème 8.10,
elle est diagonalisable dans une base orthonormale (i',j'). Puisque les deux
valeurs propres sont de même signe (et non nulles) , dans le repère (O; i',j')
l'équation de la conique s'écrit :
x' 2 y' 2
- + - + e ' x ' +m
'
y
'
+ h = O.
a 2 b 2
Effectuons le changement de variables x" = x' + a 2 e' /2 et y " = y ' + b 2 m' /2.
Géométriquement, ce changement de variables correspond à une translation
du repère (O; i' ,j') en le repère (O'; i',j') où l'origine O' du nouveau repère a
pour coordonnées (-a 2 f' /2, -b 2 m' /2) dans (O; i' ,j'). L'équation s'écrit sous la
forme (on a posé k = a 2 e' 2 /4 + b 2 m' 2 /4 - h)