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Réduction des coniques et quadriques
le produit de ses deux valeurs propres) permet de connaître le genre de la conique. Pour une conique d'équation ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = 0, ce
déterminant vaut D. = ab - c 2 . Si D. > 0 alors les deux valeurs propres doivent
nécessairement être de même signe (et non nulles) , la signature de la forme
quadratique sera (2, 0) ou (0, 2) et la conique de genre ellipse. Si D. = 0 alors
(108)
•
l'une des va.leurs propres est nulle
: la signature est (1, O) ou (0, 1) et on est
dans le cas du genre parabole. Enfin, si D. < 0 alors les deux valeurs propres
sont de signe opposé, l'une est strictement positive et l'autre strictement négative, la signature est (1, 1) et la conique est du genre hyperbole. Pour résumer,
on a la classification suivante.
PROPOSITION 8.30 Soit C une conique d'équation
ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = 0,
où (a,b,c) =f. (0,0, 0) .
X Si ab - c 2 > 0 alors C est une ellipse.
X Si ab - c 2 = 0 alors C est une parabole.
X Si ab - c 2 < 0 alors C est une hyperbole.
8.5.3 Description des différents genres de coniques
Nous venons de classer les coniques en trois catégories en fonction de la signature de la forme quadratique décrivant cette conique. Nous allons dans cette
partie étudier géométriquement ces trois types de conique.
Considérons une conique d'équation ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = O.
Notons (i,j) la base canonique du plan et (O; i,j) un repère du plan. Dans ce
repère, la conique correspond à l'ensemble des points x = xi + yj satisfaisant
ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = o.
On note q la forme quadratique définie sur JR 2 par q : (x, y) .... .. ax 2 + by 2 +2cxy.
Description du genre parabole
Supposons que la signature de q soit (1, 0) ou (0, 1). La matrice de q dans la
base (i,j) qui est une matrice symétrique et à coefficients réels est, d'après le
théorème 8.10, diagonalisable dans une base orthonormale (i',j') . Puisque la
signature de q est (1, 0) ou (0, 1), une (et une seule) des valeurs propres de q
est nulle. Dans le repère (0, i',j') l'équation de la conique s'écrit < 109'
x ' 2 + e ' x ' + m ' y ' + h = o.
< 108> Excluons le cas où les deux valeurs propres sont nulles, correspondant au cas ou la matrice
elle-même serait nulle.
(lOD) On verra dans les exemples qui suivent comment trouver effectivement ce repêre et comment se transforment les termes linéaires ex + my et le terme constant h.
Réduction des coniques et quadriques
le produit de ses deux valeurs propres) permet de connaître le genre de la conique. Pour une conique d'équation ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = 0, ce
déterminant vaut D. = ab - c 2 . Si D. > 0 alors les deux valeurs propres doivent
nécessairement être de même signe (et non nulles) , la signature de la forme
quadratique sera (2, 0) ou (0, 2) et la conique de genre ellipse. Si D. = 0 alors
(108)
•
l'une des va.leurs propres est nulle
: la signature est (1, O) ou (0, 1) et on est
dans le cas du genre parabole. Enfin, si D. < 0 alors les deux valeurs propres
sont de signe opposé, l'une est strictement positive et l'autre strictement négative, la signature est (1, 1) et la conique est du genre hyperbole. Pour résumer,
on a la classification suivante.
PROPOSITION 8.30 Soit C une conique d'équation
ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = 0,
où (a,b,c) =f. (0,0, 0) .
X Si ab - c 2 > 0 alors C est une ellipse.
X Si ab - c 2 = 0 alors C est une parabole.
X Si ab - c 2 < 0 alors C est une hyperbole.
8.5.3 Description des différents genres de coniques
Nous venons de classer les coniques en trois catégories en fonction de la signature de la forme quadratique décrivant cette conique. Nous allons dans cette
partie étudier géométriquement ces trois types de conique.
Considérons une conique d'équation ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = O.
Notons (i,j) la base canonique du plan et (O; i,j) un repère du plan. Dans ce
repère, la conique correspond à l'ensemble des points x = xi + yj satisfaisant
ax 2 + by 2 + 2cxy + ex + my + h = o.
On note q la forme quadratique définie sur JR 2 par q : (x, y) .... .. ax 2 + by 2 +2cxy.
Description du genre parabole
Supposons que la signature de q soit (1, 0) ou (0, 1). La matrice de q dans la
base (i,j) qui est une matrice symétrique et à coefficients réels est, d'après le
théorème 8.10, diagonalisable dans une base orthonormale (i',j') . Puisque la
signature de q est (1, 0) ou (0, 1), une (et une seule) des valeurs propres de q
est nulle. Dans le repère (0, i',j') l'équation de la conique s'écrit < 109'
x ' 2 + e ' x ' + m ' y ' + h = o.
< 108> Excluons le cas où les deux valeurs propres sont nulles, correspondant au cas ou la matrice
elle-même serait nulle.
(lOD) On verra dans les exemples qui suivent comment trouver effectivement ce repêre et comment se transforment les termes linéaires ex + my et le terme constant h.