Algèbre bilinéaire
509
Cette définition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont
confondus. L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la
différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est
constante et égale à une valeur fixée. La parabole n'a pas de définition bifocale.
Fig. 5 Ellipse définie par deux foyers.
8.5.2 Classification des coniques
On peut classer les coniques selon la signature t:(q) = (o:, /3) de la forme quad .
. 1 .
h ' (107)
ratlque qm m est attac ee .
DÉFINITION 8.23 Soit C une conique d'équation
ax 2 + by 2 + 2cxy + fx + my + h = O.
On note q la forme quadratique (x, y) E JR. 2 f-+ ax 2 + by 2 + 2cxy et t:(q) la
signature _ de q.
X Si t:(q) = (2, 0) ou t:(q) = (0, 2) alors la conique C est appelée ellipse.
X Si t:(q) = (1, 1) alors la conique C est appelée hyperbole.
X Si t:(q) = (1, 0) ou t:(q) = (0, 1) alors la conique C est appelée parabole.
Notons que quasiment tous les cas possibles de coniques sont décrits dans cette
définition. En effet, le rang d'un forme quadratique sur JR. 2 ne pouvant excéder
deux, on a nécessairement t:( q) = ( o:, /3) avec o: + (3 � 2. L'unique conique
non décrite par la définition précédente est donc la conique pour laquelle la
signature vaut t:(q) = (0, 0). Pour une telle conique, on a q = 0 et l'ensemble C
est une droite.
La signature d'une forme quadratique correspond au nombre de valeurs propres
strictement positives et strictement négatives de la matrice de la forme quadratique dans une base. Connaître le déterminant � de cette matrice (c'est-à-dire
(lO?) La signature permet de classifier les formes quadratiques entre elles, voir p. 471.
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Cette définition reste valable dans le cas du cercle, dans lequel les foyers sont
confondus. L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points dont la
différence des distances à deux points fixes appelés foyers de l'hyperbole est
constante et égale à une valeur fixée. La parabole n'a pas de définition bifocale.
Fig. 5 Ellipse définie par deux foyers.
8.5.2 Classification des coniques
On peut classer les coniques selon la signature t:(q) = (o:, /3) de la forme quad .
. 1 .
h ' (107)
ratlque qm m est attac ee .
DÉFINITION 8.23 Soit C une conique d'équation
ax 2 + by 2 + 2cxy + fx + my + h = O.
On note q la forme quadratique (x, y) E JR. 2 f-+ ax 2 + by 2 + 2cxy et t:(q) la
signature _ de q.
X Si t:(q) = (2, 0) ou t:(q) = (0, 2) alors la conique C est appelée ellipse.
X Si t:(q) = (1, 1) alors la conique C est appelée hyperbole.
X Si t:(q) = (1, 0) ou t:(q) = (0, 1) alors la conique C est appelée parabole.
Notons que quasiment tous les cas possibles de coniques sont décrits dans cette
définition. En effet, le rang d'un forme quadratique sur JR. 2 ne pouvant excéder
deux, on a nécessairement t:( q) = ( o:, /3) avec o: + (3 � 2. L'unique conique
non décrite par la définition précédente est donc la conique pour laquelle la
signature vaut t:(q) = (0, 0). Pour une telle conique, on a q = 0 et l'ensemble C
est une droite.
La signature d'une forme quadratique correspond au nombre de valeurs propres
strictement positives et strictement négatives de la matrice de la forme quadratique dans une base. Connaître le déterminant � de cette matrice (c'est-à-dire
(lO?) La signature permet de classifier les formes quadratiques entre elles, voir p. 471.