Algèbre bilinéaire
507
correspond ( lo G J généralement à une droite. On peut se demander de la même
manière à quoi correspond géométriquement l'ensemble des points (x, y) E JR 2
qui sont les solutions de l'équation « quadratique »
ax 2 + by 2 + 2cxy + l!x + my + h = 0 ?
DÉFINITION 8.22 (Conique)
On appelle conique l'ensemble des points (x, y) E JR 2 tels que
ax 2 + by 2 + 2cxy + fx + my + h = 0 avec (a, b, c, I!, m, h) E JR6.
Étant donné une conique, notons P l'application définie sur JR 2 par
P(x, y) = ax 2 + by 2 + 2cxy + l!x + my + h.
Elle peut se décomposer en la somme d'une forme quadratique q sur IR 2 , d'une
forme linéaire L sur IR 2 et d'une forme constante h; on a P = q + L + h avec
q(x, y) = ax 2 + by 2 + 2cxy et L(x, y) = l!x + my.
Introduisons la matrice de cette forme quadratique dans la base canonique
de IR 2
A= (� �)
L'expression matricielle de l'équation de la conique devient :
txAx + t Bx + h = o.
Autres définitions équivalentes des coniques
X Une définition géométrique des coniques d'où est issue la dénomination « conique » est la suivante : les coniques sont des courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution dans JR 3 . Selon les positions
relatives du plan et du cône, plus exactement selon l'angle d'inclinaison du plan
avec l'axe du cône, on obtient les différents types de coniques, voir la figure 3 :
- si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est
une ellipse ;
- si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole ;
- si les deux angles sont égaux, c'est une parabole.
( IO G ) Sauf dans quelques cas particuliers comme celui où a = b = c = 0 pour lequel tous les
points (x, y) E IR 2 satisfont la relation ou celui où a = b = 0 et c '=F 0 pour lequel aucun
point (x, y) E IR 2 ne satisfait la relation.
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correspond ( lo G J généralement à une droite. On peut se demander de la même
manière à quoi correspond géométriquement l'ensemble des points (x, y) E JR 2
qui sont les solutions de l'équation « quadratique »
ax 2 + by 2 + 2cxy + l!x + my + h = 0 ?
DÉFINITION 8.22 (Conique)
On appelle conique l'ensemble des points (x, y) E JR 2 tels que
ax 2 + by 2 + 2cxy + fx + my + h = 0 avec (a, b, c, I!, m, h) E JR6.
Étant donné une conique, notons P l'application définie sur JR 2 par
P(x, y) = ax 2 + by 2 + 2cxy + l!x + my + h.
Elle peut se décomposer en la somme d'une forme quadratique q sur IR 2 , d'une
forme linéaire L sur IR 2 et d'une forme constante h; on a P = q + L + h avec
q(x, y) = ax 2 + by 2 + 2cxy et L(x, y) = l!x + my.
Introduisons la matrice de cette forme quadratique dans la base canonique
de IR 2
A= (� �)
L'expression matricielle de l'équation de la conique devient :
txAx + t Bx + h = o.
Autres définitions équivalentes des coniques
X Une définition géométrique des coniques d'où est issue la dénomination « conique » est la suivante : les coniques sont des courbes planes résultant de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution dans JR 3 . Selon les positions
relatives du plan et du cône, plus exactement selon l'angle d'inclinaison du plan
avec l'axe du cône, on obtient les différents types de coniques, voir la figure 3 :
- si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est
une ellipse ;
- si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole ;
- si les deux angles sont égaux, c'est une parabole.
( IO G ) Sauf dans quelques cas particuliers comme celui où a = b = c = 0 pour lequel tous les
points (x, y) E IR 2 satisfont la relation ou celui où a = b = 0 et c '=F 0 pour lequel aucun
point (x, y) E IR 2 ne satisfait la relation.