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Réduction des coniques et quadriques
matrice identité (et par conséquent une matrice diagonale) et celle de q' dans
cette même base est elle aussi une matrice diagonale.
E
l . L
. A
( 16 - l 2)
t .
, .
, Il
xemp e a matnce = _12 9 est une ma nce symetnque ree e,
elle est par conséquent diagonalisable dans une base orthonormale.
Pour diagonaliser la matrice A, commençons par chercher ses valeurs propres.
Le polynôme caractéristique P de A est donné par
(16-À -12)
P(>.) = det(A - >.Id) = . = >.(>. - 25 ).
Les valeurs propres de A sont À1 = 0 et À 2 = 25. Pour déterminer la matrice de
passage orthogonale, calculons les espaces propres associés à À1 et À 2 . L'espace
propre associé à >.1 est l'ensemble des vecteurs x = t (x, y) tels que Ax = >.1x.
Ce qui donne ici 16x - 12y = O. L'espace propre associé à la valeur propre >.1
est donc engendré par v1 = t (3, 4). Afin d'obtenir une matrice de passage
orthogonale, considérons un vecteur colinéaire à v1 et de norme 1 :
ei = 11:�11
=
(1) .
Pour calculer le second vecteur propre, on peut soit procéder comme pour le
premier vecteur propre, soit utiliser le fait que la matrice de passage (c'està-dire la matrice formée par les vecteurs propres associés aux deux valeurs
propres) doit être orthogonale. En utilisant cette seconde méthode, on établit
qu'un vecteur orthogonal à v1 et de norme 1 est donné par e 2 = t ( -g, �). La
t
(� -�) (0 0 )
matrice A s'écrit A = PD P avec P = Î t et D = 0 25 ·
Exercice 8.8 Considérons la matrice symétrique réelle
M = ( � � =�) .
-2 -1 4
1 - Déterminer les valeurs propres de M.
2 - Trouver les sous-espaces propres associés à chacune des valeurs propres
et vérifier qu'ils sont orthogonaux deux à deux.
3 - Diagonaliser la matrice M avec une matrice de passage orthogonale.
8.5 Réduction des coniques et quadriques
8.5.1 Étude des coniques
Étant donné un triplet (a, b, c) E JR 3 , l'ensemble des points (x, y) du plan IR 2
qui sont les solutions de l'équation « linéaire »
ax + by + c=O