Algèbre bilinéaire
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THÉORÈME 8.10 To ute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans
une base orthonormale. Autrement dit, si ME Sn (IR) alors il existe une matrice orthogonale P E On (IR) telle que p- l MP soit une matrice diagonale
réelle.
Démonstration On procède par récurrence sur la taille n de la matrice M.
Si n = 1 alors M est diagonale et le résultat est vérifié. Supposons le théorème
démontré pour toutes les matrices symétriques réelles de taille n - 1 et montrons qu'il est vrai pour toutes les matrices symétriques réelles de taille n.
Soit M une matrice symétrique réelle de taille n. On sait d'après la proposition 8.28 que M possède au moins une valeur propre réelle. Notons >.1 E IR cette
valeur propre et v E !R n \ { O} un vecteur propre associé. Le vecteur e1 = v / ll v ll
est aussi un vecteur propre associé à À1 ; il est de norme 1 et la droite !Re1 est
stable crns) par M. D'après la proposition 8.26, on en déduit que H = (IRei)J. est
stable par t NI . La matrice M étant symétrique, il s'ensuit que l'espace vectoriel H est stable par M.
En notant u l'endomorphisme associé à la matrice M, on a donc montré que u
est un endomorphisme de H sur H. Puisque dim H = n - 1, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à la matrice de l'endomorphisme u : H--+ H. Il
existe une base orthonormale (e 2 , ... , en) de H dans laquelle ulH est diagonale,
c'est-à-dire telle que pour tout i E {2, ... , n} on a u( ei) = Àiei avec Ài E IR.
En complétant cette base avec le vecteur e1 , on obtient une base de !R n qui
convient puisque d'une part on a
Vi E{l, . . . , n} 3Ài EIR u(ei) =Àiei ,
ce qui exprime le fait que dans cette base (e1 , ... , en) la matrice de u est diagonale, et d'autre part la base ( e1 , ... , en) est une base orthonormale puisque
la famille { e 2 , ... , en} est orthogonale et que le vecteur e1 de norme 1 et orthogonale à H, donc à la famille { e 2 , ... , en} ·
D
1 Ne pas confondre ce résultat avec celui énoncé dans la proposition 8.11 qui
dit que toute matrice symétrique réelle est congrue à une matrice diagonale.
Ici, le résultat est plus fort : le théorème 8.10 indique que la matrice de
passage est orthogonale.
Le résultat énoncé dans le théorème 8.10 admet des corollaires intéressants. En
effet, le fait d'affirmer que toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans
une base orthonormale laisse libre choix au sens donné au mot « orthonormale ».
Plus précisément, on ne spécifie pas par rapport à quel produit scalaire la
base est orthonormale. Prenons ainsi deux formes quadratiques q et q
'
telles
que q est définie positive (et permet donc de définir un produit scalaire) . Le
théorème 8.10 affirme qu'il existe une base Bo qui est orthonormale pour q et
telle que la matrice de q
'
dans Bo est une matrice diagonale. Un tel résultat est
appelé un résultat de codiagonalisation puisque la matrice de q dans Bo est la
cios) C'est-à-dire que si x E lR.e1 alors Mx E lR.e1 , voir la définition 8.20.
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THÉORÈME 8.10 To ute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans
une base orthonormale. Autrement dit, si ME Sn (IR) alors il existe une matrice orthogonale P E On (IR) telle que p- l MP soit une matrice diagonale
réelle.
Démonstration On procède par récurrence sur la taille n de la matrice M.
Si n = 1 alors M est diagonale et le résultat est vérifié. Supposons le théorème
démontré pour toutes les matrices symétriques réelles de taille n - 1 et montrons qu'il est vrai pour toutes les matrices symétriques réelles de taille n.
Soit M une matrice symétrique réelle de taille n. On sait d'après la proposition 8.28 que M possède au moins une valeur propre réelle. Notons >.1 E IR cette
valeur propre et v E !R n \ { O} un vecteur propre associé. Le vecteur e1 = v / ll v ll
est aussi un vecteur propre associé à À1 ; il est de norme 1 et la droite !Re1 est
stable crns) par M. D'après la proposition 8.26, on en déduit que H = (IRei)J. est
stable par t NI . La matrice M étant symétrique, il s'ensuit que l'espace vectoriel H est stable par M.
En notant u l'endomorphisme associé à la matrice M, on a donc montré que u
est un endomorphisme de H sur H. Puisque dim H = n - 1, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à la matrice de l'endomorphisme u : H--+ H. Il
existe une base orthonormale (e 2 , ... , en) de H dans laquelle ulH est diagonale,
c'est-à-dire telle que pour tout i E {2, ... , n} on a u( ei) = Àiei avec Ài E IR.
En complétant cette base avec le vecteur e1 , on obtient une base de !R n qui
convient puisque d'une part on a
Vi E{l, . . . , n} 3Ài EIR u(ei) =Àiei ,
ce qui exprime le fait que dans cette base (e1 , ... , en) la matrice de u est diagonale, et d'autre part la base ( e1 , ... , en) est une base orthonormale puisque
la famille { e 2 , ... , en} est orthogonale et que le vecteur e1 de norme 1 et orthogonale à H, donc à la famille { e 2 , ... , en} ·
D
1 Ne pas confondre ce résultat avec celui énoncé dans la proposition 8.11 qui
dit que toute matrice symétrique réelle est congrue à une matrice diagonale.
Ici, le résultat est plus fort : le théorème 8.10 indique que la matrice de
passage est orthogonale.
Le résultat énoncé dans le théorème 8.10 admet des corollaires intéressants. En
effet, le fait d'affirmer que toute matrice symétrique réelle se diagonalise dans
une base orthonormale laisse libre choix au sens donné au mot « orthonormale ».
Plus précisément, on ne spécifie pas par rapport à quel produit scalaire la
base est orthonormale. Prenons ainsi deux formes quadratiques q et q
'
telles
que q est définie positive (et permet donc de définir un produit scalaire) . Le
théorème 8.10 affirme qu'il existe une base Bo qui est orthonormale pour q et
telle que la matrice de q
'
dans Bo est une matrice diagonale. Un tel résultat est
appelé un résultat de codiagonalisation puisque la matrice de q dans Bo est la
cios) C'est-à-dire que si x E lR.e1 alors Mx E lR.e1 , voir la définition 8.20.